Trigonometrie Beispiele

$\csc^{2} (x) = \frac{\cot (x)}{\tan (x)} + 1$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\frac{\cot (x)}{\tan (x)} + 1$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cot (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + 1$

Schritt 2.2

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + 1$

Schritt 2.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

Schritt 2.5.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

Schritt 2.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

Schritt 2.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

Schritt 2.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.6.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} + 1$

Schritt 2.6.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} + 1$

Schritt 2.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + 1$

Schritt 2.6.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1$

Schritt 3

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + 1$

Schritt 4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} + 1$

Schritt 4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ als $\csc^{2} (x)$ um.

$\csc^{2} (x)$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\csc^{2} (x) = \frac{\cot (x)}{\tan (x)} + 1$ ist eine Identitätsgleichung