Trigonometrie Beispiele

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cdot \cos (x)} = \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\csc^{2} (x) - \sec^{2} (x)$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - \sec^{2} (x)$

Schritt 2.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 2.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4

Subtrahiere Brüche.

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Schritt 4.1

Um $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.2

Um $- \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ mit $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ mit $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 4.3.3

Stelle die Faktoren von $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ um.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (x)$ und $b = \sin (x)$ .

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Schritt 6

Schreibe $\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$ als $\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cdot \cos (x)}$ um.

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cdot \cos (x)}$

Schritt 7

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cdot \cos (x)} = \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung