Trigonometrie Beispiele

$\frac{\csc (x)}{\tan (x) + \cot (x)} = \cos (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\csc (x)}{\tan (x) + \cot (x)}$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\tan (x) + \cot (x)}$

Schritt 2.2

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x)}$

Schritt 2.3

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Um $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Schritt 3.2.2

Um $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\cos (x) \sin (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 3.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}}$

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.5.1

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 3.2.5.1.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.2.5.1.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.2.5.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.2.5.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{{\sin (x)}^{2} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.2.5.2

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 3.2.5.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.2.5.2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.2.5.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.2.5.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.3

Kombinieren.

$\frac{1 \cdot 1}{\sin (x) \frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{\sin (x) \frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.5

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$ .

$\frac{1}{\frac{\sin (x) ({\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2})}{\cos (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck $\frac{\sin (x) ({\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2})}{\cos (x) \sin (x)}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{\sin (x) ({\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2})}{\cos (x) \sin (x)}}$

Schritt 3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}$

Schritt 3.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

Schritt 4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\cos (x)}{1}$

Schritt 5

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x)$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\csc (x)}{\tan (x) + \cot (x)} = \cos (x)$ ist eine Identitätsgleichung