Trigonometrie Beispiele

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} = 2 \sec^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$

Schritt 2

Subtrahiere Brüche.

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Schritt 2.1

Um $\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$ .

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$

Schritt 2.2

Um $- \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$ .

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} \cdot \frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$ mit $\frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$ .

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} \cdot \frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$ mit $\frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$ .

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 - \csc (x)) (1 + \csc (x))}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(1 - \csc (x)) (1 + \csc (x))$ um.

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{\csc (x) + \csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Schritt 3.1.3

Multipliziere $\csc (x) (- \csc (x))$ .

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Schritt 3.1.3.1

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{\csc (x) - ({\csc (x)}^{1} \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Schritt 3.1.3.2

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{\csc (x) - ({\csc (x)}^{1} {\csc (x)}^{1}) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Schritt 3.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Schritt 3.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Schritt 3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) \cdot 1 - \csc (x) \csc (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - \csc (x) \csc (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Schritt 3.1.6

Multipliziere $- \csc (x) \csc (x)$ .

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Schritt 3.1.6.1

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - ({\csc (x)}^{1} \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Schritt 3.1.6.2

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - ({\csc (x)}^{1} {\csc (x)}^{1})}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Schritt 3.1.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 1}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Schritt 3.1.6.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $\csc (x)$ von $\csc (x)$ .

$\frac{- {\csc (x)}^{2} + 0 - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Schritt 3.3

Addiere $- {\csc (x)}^{2}$ und $0$ .

$\frac{- {\csc (x)}^{2} - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Schritt 3.4

Subtrahiere ${\csc (x)}^{2}$ von $- {\csc (x)}^{2}$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

Schritt 4

Vereinfache Nenner.

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Schritt 4.1

Multipliziere $(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 (1 - \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc (x))}$

Schritt 4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 - \csc^{2} (x)}$

Schritt 5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

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Schritt 5.1

Stelle $1$ und $- \csc^{2} (x)$ um.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \csc^{2} (x) + 1}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \csc^{2} (x)$ heraus.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- (\csc^{2} (x)) + 1}$

Schritt 5.3

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ heraus.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- (\csc^{2} (x) - 1)}$

Schritt 5.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \cot^{2} (x)}$

Schritt 6

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 6.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{- 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- \cot^{2} (x)}$

Schritt 6.2

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{- 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Schritt 6.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$\frac{- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

Schritt 6.4

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ an.

$\frac{- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- 2 \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Schritt 7.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 2 \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Schritt 7.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${\sin (x)}^{2}$ .

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Schritt 7.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 7.4.2

Faktorisiere ${\sin (x)}^{2}$ aus $- {\sin (x)}^{2}$ heraus.

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 7.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 7.4.4

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \frac{- 1}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 7.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{- 1}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8

Schreibe $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ als $2 \sec^{2} (x)$ um.

$2 \sec^{2} (x)$

Schritt 9

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} = 2 \sec^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung