Trigonometrie Beispiele

$\cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x) = \cos^{2} (2 x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

Schritt 2

Faktorisiere $\cos^{2} (x)$ aus $\cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ heraus.

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Schritt 2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\cos^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

Schritt 2.2

Faktorisiere $\cos^{2} (x)$ aus $- 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ heraus.

$\cos^{2} (x) \cdot 1 + \cos^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

Schritt 2.3

Faktorisiere $\cos^{2} (x)$ aus $\cos^{2} (x) \cdot 1 + \cos^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ heraus.

$\cos^{2} (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

Schritt 3

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$(1 - \sin^{2} (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $(1 - {\sin (x)}^{2}) (1 - 2 {\sin (x)}^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (1 - 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} (1 - 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Schritt 4.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} (1 - 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Schritt 4.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2} (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + 1 (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2} (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 2 {\sin (x)}^{2}$ mit $1$ .

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2} (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Schritt 4.1.2.1.4

Multipliziere ${\sin (x)}^{2}$ mit ${\sin (x)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.2.1.4.1

Bewege ${\sin (x)}^{2}$ .

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} - ({\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}) \cdot - 2 - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Schritt 4.1.2.1.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2 + 2} \cdot - 2 - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Schritt 4.1.2.1.4.3

Addiere $2$ und $2$ .

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{4} \cdot - 2 - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Schritt 4.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4} - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere ${\sin (x)}^{2}$ von $- 2 {\sin (x)}^{2}$ .

$1 - 3 {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4} - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Schritt 4.2

Subtrahiere ${\sin (x)}^{2}$ von $- 3 {\sin (x)}^{2}$ .

$1 + 2 {\sin (x)}^{4} - 4 {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Schritt 4.3

Addiere $2 {\sin (x)}^{4}$ und $2 {\sin (x)}^{4}$ .

$1 + 4 \sin^{4} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

Schritt 5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.1

Ordne Terme um.

$1 - 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x)$

Schritt 5.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$1^{2} - 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x)$

Schritt 5.3

Schreibe $4 \sin^{4} (x)$ als ${(2 \sin^{2} (x))}^{2}$ um.

$1^{2} - 4 \sin^{2} (x) + {(2 \sin^{2} (x))}^{2}$

Schritt 5.4

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 \sin^{2} (x) = 2 \cdot 1 \cdot (2 \sin^{2} (x))$

Schritt 5.5

Schreibe das Polynom neu.

$1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot (2 \sin^{2} (x)) + {(2 \sin^{2} (x))}^{2}$

Schritt 5.6

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 1$ und $b = 2 \sin^{2} (x)$ .

${(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2}$

Schritt 6

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\cos^{2} (2 x)$

Schritt 7

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x) = \cos^{2} (2 x)$ ist eine Identitätsgleichung