Trigonometrie Beispiele

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} = \sec (A) - \tan (A)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1}$ mit $\frac{- \csc (A) + 1}{- \csc (A) + 1}$ .

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} \cdot \frac{- \csc (A) + 1}{- \csc (A) + 1}$

Schritt 3

Kombinieren.

$\frac{\cot (A) (- \csc (A) + 1)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A) \cdot 1}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\cot (A)$ mit $1$ .

$\frac{\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren in $\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A)$ um.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Schritt 5

Vereinfache Nenner.

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Schritt 5.1

Multipliziere $(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A) + 1) + 1 (- \csc (A) + 1)}$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A)) + \csc (A) \cdot 1 + 1 (- \csc (A) + 1)}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A)) + \csc (A) \cdot 1 + 1 (- \csc (A)) + 1 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \csc^{2} (A) + 1}$

Schritt 6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \csc^{2} (A)$ heraus.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- (\csc^{2} (A)) + 1}$

Schritt 6.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \csc^{2} (A) - 1 \cdot - 1}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \csc^{2} (A) - 1 \cdot - 1$ heraus.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- (\csc^{2} (A) - 1)}$

Schritt 6.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

Schritt 7

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 7.1

Schreibe $\cot (A)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \csc (A) + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

Schritt 7.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (A)$ an.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

Schritt 7.3

Schreibe $\cot (A)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- \cot^{2} (A)}$

Schritt 7.4

Schreibe $\cot (A)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}}$

Schritt 7.5

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ an.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Schritt 8.2

Multipliziere $- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)}$ .

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (A)}$ mit $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

$(- \frac{\cos (A)}{\sin (A) \sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Schritt 8.2.2

Potenziere $\sin (A)$ mit $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1} \sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Schritt 8.2.3

Potenziere $\sin (A)$ mit $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1} {\sin (A)}^{1}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Schritt 8.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Schritt 8.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Schritt 8.3

Um $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{\sin (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Schritt 8.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${\sin (A)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.4.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ mit $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{\sin (A) \sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Schritt 8.4.2

Potenziere $\sin (A)$ mit $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1} \sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Schritt 8.4.3

Potenziere $\sin (A)$ mit $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1} {\sin (A)}^{1}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Schritt 8.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Schritt 8.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Schritt 8.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \cos (A) + \cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Schritt 8.6

Faktorisiere $\cos (A)$ aus $- \cos (A) + \cos (A) \sin (A)$ heraus.

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Schritt 8.6.1

Faktorisiere $\cos (A)$ aus $- \cos (A)$ heraus.

$\frac{\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Schritt 8.6.2

Faktorisiere $\cos (A)$ aus $\cos (A) \sin (A)$ heraus.

$\frac{\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) (\sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Schritt 8.6.3

Faktorisiere $\cos (A)$ aus $\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) (\sin (A))$ heraus.

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Schritt 8.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (A)$ .

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Schritt 8.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}}$

Schritt 8.7.2

Faktorisiere $\cos (A)$ aus ${\cos (A)}^{2}$ heraus.

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A) \cos (A)}$

Schritt 8.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A) \cos (A)}$

Schritt 8.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A)}$

Schritt 8.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${\sin (A)}^{2}$ .

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Schritt 8.8.1

Faktorisiere ${\sin (A)}^{2}$ aus $- {\sin (A)}^{2}$ heraus.

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (A)}^{2} \cdot - 1}{\cos (A)}$

Schritt 8.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (A)}^{2} \cdot - 1}{\cos (A)}$

Schritt 8.8.3

Forme den Ausdruck um.

$(- 1 + \sin (A)) \frac{- 1}{\cos (A)}$

Schritt 8.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(- 1 + \sin (A)) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Schritt 8.10

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 (- \frac{1}{\cos (A)}) + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Schritt 8.11

Multipliziere $- 1 (- \frac{1}{\cos (A)})$ .

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Schritt 8.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{\cos (A)} + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Schritt 8.11.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (A)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos (A)} + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Schritt 8.12

Kombiniere $\sin (A)$ und $\frac{1}{\cos (A)}$ .

$\frac{1}{\cos (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}$

Schritt 9

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$\sec (A) - \tan (A)$

Schritt 10

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 10.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (A)$ an.

$\frac{1}{\cos (A)} - \tan (A)$

Schritt 10.2

Schreibe $\tan (A)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{1}{\cos (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}$

Schritt 11

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} = \sec (A) - \tan (A)$ ist eine Identitätsgleichung