Trigonometrie Beispiele

$\tan^{2} (x) \cdot \sin^{2} (x) = \tan^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\tan^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - \sin^{2} (x)$

Schritt 2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x)$

Schritt 3

Schreibe $- \sin^{2} (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1}$

Schritt 4

Addiere Brüche.

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Schritt 4.1

Um $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{- \sin^{2} (x)}{1}$ mit $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

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Schritt 5.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot 1 - \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $\sin^{2} (x)$ aus $- \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot 1 + \sin^{2} (x) (- \cos^{2} (x))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $\sin^{2} (x)$ aus $\sin^{2} (x) \cdot 1 + \sin^{2} (x) (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot (1 - \cos^{2} (x))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 5.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 6

Multipliziere ${\sin (x)}^{2}$ mit ${\sin (x)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

$\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7

Schreibe $\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$ als $\tan^{2} (x) \cdot \sin^{2} (x)$ um.

$\tan^{2} (x) \cdot \sin^{2} (x)$

Schritt 8

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\tan^{2} (x) \cdot \sin^{2} (x) = \tan^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung