Trigonometrie Beispiele

$\tan^{2} (u) - \sin^{2} (u) = \tan^{2} (u) \sin^{2} (u)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\tan^{2} (u) - \sin^{2} (u)$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Schreibe $\tan (u)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

${(\frac{\sin (u)}{\cos (u)})}^{2} - \sin^{2} (u)$

Schritt 2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (u)}{\cos (u)}$ an.

$\frac{\sin^{2} (u)}{\cos^{2} (u)} - \sin^{2} (u)$

Schritt 3

Schreibe $- \sin^{2} (u)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{\sin^{2} (u)}{\cos^{2} (u)} + \frac{- \sin^{2} (u)}{1}$

Schritt 4

Addiere Brüche.

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Schritt 4.1

Um $\frac{- \sin^{2} (u)}{1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$ .

$\frac{\sin^{2} (u)}{\cos^{2} (u)} + \frac{- \sin^{2} (u)}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{- \sin^{2} (u)}{1}$ mit $\frac{\cos^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$ .

$\frac{\sin^{2} (u)}{\cos^{2} (u)} + \frac{- \sin^{2} (u) \cos^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin^{2} (u) - \sin^{2} (u) \cos^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$

Schritt 5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

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Schritt 5.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (u) \cdot 1 - \sin^{2} (u) \cos^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $\sin^{2} (u)$ aus $- \sin^{2} (u) \cos^{2} (u)$ heraus.

$\frac{\sin^{2} (u) \cdot 1 + \sin^{2} (u) (- \cos^{2} (u))}{\cos^{2} (u)}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $\sin^{2} (u)$ aus $\sin^{2} (u) \cdot 1 + \sin^{2} (u) (- \cos^{2} (u))$ heraus.

$\frac{\sin^{2} (u) \cdot (1 - \cos^{2} (u))}{\cos^{2} (u)}$

Schritt 5.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sin^{2} (u) \cdot \sin^{2} (u)}{\cos^{2} (u)}$

Schritt 6

Multipliziere ${\sin (u)}^{2}$ mit ${\sin (u)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

$\frac{\sin^{4} (u)}{\cos^{2} (u)}$

Schritt 7

Schreibe $\frac{\sin^{4} (u)}{\cos^{2} (u)}$ als $\tan^{2} (u) \sin^{2} (u)$ um.

$\tan^{2} (u) \sin^{2} (u)$

Schritt 8

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\tan^{2} (u) - \sin^{2} (u) = \tan^{2} (u) \sin^{2} (u)$ ist eine Identitätsgleichung