Trigonometrie Beispiele

$\frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} = \frac{\cot (x) + \cot (y)}{\cot (x) \cot (y) - 1}$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\frac{\cot (x) + \cot (y)}{\cot (x) \cot (y) - 1}$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cot (y)}{\cot (x) \cot (y) - 1}$

Schritt 2.2

Schreibe $\cot (y)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{\cot (x) \cot (y) - 1}$

Schritt 2.3

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cot (y) - 1}$

Schritt 2.4

Schreibe $\cot (y)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - 1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\sin (x) \sin (y)$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - 1}$ mit $\frac{\sin (x) \sin (y)}{\sin (x) \sin (y)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (y)}{\sin (x) \sin (y)} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - 1}$

Schritt 3.1.2

Kombinieren.

$\frac{\sin (x) \sin (y) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (y)}{\sin (y)})}{\sin (x) \sin (y) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)} - 1)}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x) \sin (y) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{\sin (x) \sin (y) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}) + \sin (x) \sin (y) \cdot - 1}$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) \sin (y)$ heraus.

$\frac{\sin (x) (\sin (y)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{\sin (x) \sin (y) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}) + \sin (x) \sin (y) \cdot - 1}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{\sin (x) \sin (y) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}) + \sin (x) \sin (y) \cdot - 1}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (y)$ .

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (y) \cos (x) + \sin (y) \sin (x) \frac{\cos (y)}{\sin (y)}}{\sin (x) \sin (y) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}) + \sin (x) \sin (y) \cdot - 1}$

Schritt 3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (y) \cos (x) + \sin (x) \cos (y)}{\sin (x) \sin (y) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}) + \sin (x) \sin (y) \cdot - 1}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Nenner.

$\frac{\sin (y) \cos (x) + \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (x) \sin (y)$ heraus.

$\frac{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}{- (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \cos (y)}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos (x) \cos (y)$ heraus.

$\frac{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}{- (\sin (x) \sin (y)) - (- \cos (x) \cos (y))}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin (x) \sin (y)) - (- \cos (x) \cos (y))$ heraus.

$\frac{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}{- (\sin (x) \sin (y) - \cos (x) \cos (y))}$

Schritt 4.4

Schreibe $- (\sin (x) \sin (y) - \cos (x) \cos (y))$ als $- 1 (\sin (x) \sin (y) - \cos (x) \cos (y))$ um.

$\frac{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}{- 1 (\sin (x) \sin (y) - \cos (x) \cos (y))}$

Schritt 4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}{\sin (x) \sin (y) - \cos (x) \cos (y)}$

Schritt 5

Schreibe $- \frac{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}{\sin (x) \sin (y) - \cos (x) \cos (y)}$ als $\frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)}$ um.

$\frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)}$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} = \frac{\cot (x) + \cot (y)}{\cot (x) \cot (y) - 1}$ ist eine Identitätsgleichung