Trigonometrie Beispiele

$1 - \tan^{2} (x) = \frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$1 - \tan^{2} (x)$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$1 - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Schritt 2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$1 - \frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$1 - \frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \cos (x)$ .

$1 - \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{\cos (x)}^{2} - (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

$\frac{2 \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 5

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$1 - \tan^{2} (x) = \frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)}$ ist eine Identitätsgleichung