Trigonometrie Beispiele

$1 + \frac{1}{\tan^{2} (x)} = \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$1 + \frac{1}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$1 + \frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)}$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\tan (x)})}^{2}$ um.

$1 + {(\frac{1}{\tan (x)})}^{2}$

Schritt 2.3

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 + {(\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2}$

Schritt 2.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$1 + {(1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 2.5

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$1 + {(\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Forme den Ausdruck um.

$1 + {(1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ mit $1$ .

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Schritt 2.7

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ an.

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$1 + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$1 + \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \sin (x)$ .

$1 + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{\sin (x)}^{2} + (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$1 + \frac{1}{\tan^{2} (x)} = \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ ist eine Identitätsgleichung