Trigonometrie Beispiele

$\sin^{4} (5 x) + \cos^{4} (5 x) + 2 \sin^{2} (5 x) \cos^{2} (5 x) = 1$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\sin^{4} (5 x) + \cos^{4} (5 x) + 2 \sin^{2} (5 x) \cos^{2} (5 x)$

Schritt 2

Faktorisiere.

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Schritt 2.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.1

Ordne Terme um.

$\sin^{4} (5 x) + 2 \sin^{2} (5 x) \cos^{2} (5 x) + \cos^{4} (5 x)$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\sin^{4} (5 x)$ als ${(\sin^{2} (5 x))}^{2}$ um.

${(\sin^{2} (5 x))}^{2} + 2 \sin^{2} (5 x) \cos^{2} (5 x) + \cos^{4} (5 x)$

Schritt 2.1.3

Schreibe $\cos^{4} (5 x)$ als ${(\cos^{2} (5 x))}^{2}$ um.

${(\sin^{2} (5 x))}^{2} + 2 \sin^{2} (5 x) \cos^{2} (5 x) + {(\cos^{2} (5 x))}^{2}$

Schritt 2.1.4

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 \sin^{2} (5 x) \cos^{2} (5 x) = 2 \cdot \sin^{2} (5 x) \cdot \cos^{2} (5 x)$

Schritt 2.1.5

Schreibe das Polynom neu.

${(\sin^{2} (5 x))}^{2} + 2 \cdot \sin^{2} (5 x) \cdot \cos^{2} (5 x) + {(\cos^{2} (5 x))}^{2}$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = \sin^{2} (5 x)$ und $b = \cos^{2} (5 x)$ .

${(\sin^{2} (5 x) + \cos^{2} (5 x))}^{2}$

Schritt 2.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1^{2}$

Schritt 3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1$

Schritt 4

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sin^{4} (5 x) + \cos^{4} (5 x) + 2 \sin^{2} (5 x) \cos^{2} (5 x) = 1$ ist eine Identitätsgleichung