Trigonometrie Beispiele

$\frac{\tan (x)}{\csc (x)} = \sec (x) - \cos (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\tan (x)}{\csc (x)}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\tan (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 2.2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 2.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$

Schritt 2.4

Schreibe $\sin (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$

Schritt 2.5.2

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.6.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Schritt 2.6.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$\sec (x) - \cos (x)$

Schritt 5

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)$

Schritt 6

Schreibe $- \cos (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{1}$

Schritt 7

Addiere Brüche.

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Schritt 7.1

Um $\frac{- \cos (x)}{1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\frac{- \cos (x)}{1}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8

Multipliziere $- \cos (x) \cos (x)$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 9

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\tan (x)}{\csc (x)} = \sec (x) - \cos (x)$ ist eine Identitätsgleichung