Trigonometrie Beispiele

$\frac{\tan (t) - \cot (t)}{\sin (t) \cos (t)} = \sec^{2} (t) - \csc^{2} (t)$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\sec^{2} (t) - \csc^{2} (t)$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (t)$ an.

${(\frac{1}{\cos (t)})}^{2} - \csc^{2} (t)$

Schritt 2.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (t)$ an.

${(\frac{1}{\cos (t)})}^{2} - {(\frac{1}{\sin (t)})}^{2}$

Schritt 2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (t)}$ an.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (t)} - {(\frac{1}{\sin (t)})}^{2}$

Schritt 2.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (t)}$ an.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (t)} - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (t)}$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} - \frac{1}{\sin^{2} (t)}$

Schritt 4

Subtrahiere Brüche.

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Schritt 4.1

Um $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} \cdot \frac{\sin^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} - \frac{1}{\sin^{2} (t)}$

Schritt 4.2

Um $- \frac{1}{\sin^{2} (t)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} \cdot \frac{\sin^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} - \frac{1}{\sin^{2} (t)} \cdot \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Schritt 4.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ mit $\frac{\sin^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ .

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)} - \frac{1}{\sin^{2} (t)} \cdot \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ mit $\frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ .

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)} - \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t) \cos^{2} (t)}$

Schritt 4.3.3

Stelle die Faktoren von $\sin^{2} (t) \cos^{2} (t)$ um.

$\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)} - \frac{\cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin^{2} (t) - \cos^{2} (t)}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)}$

Schritt 5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \sin (t)$ und $b = \cos (t)$ .

$\frac{(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) - \cos (t))}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)}$

Schritt 6

Schreibe $\frac{(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) - \cos (t))}{\cos^{2} (t) \sin^{2} (t)}$ als $\frac{\tan (t) - \cot (t)}{\sin (t) \cos (t)}$ um.

$\frac{\tan (t) - \cot (t)}{\sin (t) \cos (t)}$

Schritt 7

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\tan (t) - \cot (t)}{\sin (t) \cos (t)} = \sec^{2} (t) - \csc^{2} (t)$ ist eine Identitätsgleichung