Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sin (x - y)}{\sin (x + y)} = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{\tan (x) + \tan (y)}$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\sin (x - y)}{\sin (x + y)}$

Schritt 2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\frac{\sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y)}{\sin (x + y)}$

Schritt 3

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\frac{\sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y)}{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Da $\cos (- y)$ eine gerade Funktion ist, schreibe $\cos (- y)$ als $\cos (y)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (- y)}{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)}$

Schritt 4.2

Da $\sin (- y)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\sin (- y)$ als $- \sin (y)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) (- \sin (y))}{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)}$

Schritt 4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)}{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos (x) \sin (y)$ heraus.

$\frac{- (\cos (x) \sin (y)) + \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos (y) \sin (x)$ heraus.

$\frac{- (\cos (x) \sin (y)) - (- \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\cos (x) \sin (y)) - (- \cos (y) \sin (x))$ heraus.

$\frac{- (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}$

Schritt 5.4

Schreibe $- (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))$ als $- 1 (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))$ um.

$\frac{- 1 (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}$

Schritt 5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}$

Schritt 6

Schreibe $- \frac{\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}$ als $\frac{\tan (x) - \tan (y)}{\tan (x) + \tan (y)}$ um.

$\frac{\tan (x) - \tan (y)}{\tan (x) + \tan (y)}$

Schritt 7

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (x - y)}{\sin (x + y)} = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{\tan (x) + \tan (y)}$ ist eine Identitätsgleichung