Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sin (x + y) + \sin (x - y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)} = \tan (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\sin (x + y) + \sin (x - y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)}$

Schritt 2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x - y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)}$

Schritt 3

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)}$

Schritt 4

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x - y)}$

Schritt 5

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Da $\cos (- y)$ eine gerade Funktion ist, schreibe $\cos (- y)$ als $\cos (y)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (- y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Schritt 6.1.2

Da $\sin (- y)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\sin (- y)$ als $- \sin (y)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y) + \cos (x) (- \sin (y))}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Schritt 6.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Schritt 6.1.4

Addiere $\sin (x) \cos (y)$ und $\sin (x) \cos (y)$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Schritt 6.1.5

Subtrahiere $\cos (x) \sin (y)$ von $\cos (x) \sin (y)$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y) + 0}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Schritt 6.1.6

Addiere $2 \sin (x) \cos (y)$ und $0$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Da $\cos (- y)$ eine gerade Funktion ist, schreibe $\cos (- y)$ als $\cos (y)$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (- y)}$

Schritt 6.2.2

Da $\sin (- y)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\sin (- y)$ als $- \sin (y)$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y) - \sin (x) (- \sin (y))}$

Schritt 6.2.3

Multipliziere $- \sin (x) (- \sin (y))$ .

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y) + 1 \sin (x) \sin (y)}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)}$

Schritt 6.2.4

Addiere $\cos (x) \cos (y)$ und $\cos (x) \cos (y)$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)}$

Schritt 6.2.5

Addiere $- \sin (x) \sin (y)$ und $\sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y) + 0}$

Schritt 6.2.6

Addiere $2 \cos (x) \cos (y)$ und $0$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Schritt 6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (y)$ .

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)}$

Schritt 6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.5

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\tan (x)$

Schritt 7

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (x + y) + \sin (x - y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)} = \tan (x)$ ist eine Identitätsgleichung