Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sin (x + h) - \sin (x)}{h} = \cos (x) (\frac{\sin (h)}{h}) - \sin (x) \frac{1 - \cos (h)}{h}$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{\sin (x + h) - \sin (x)}{h}$

Schritt 2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\frac{\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{h}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (x)$ heraus.

$\frac{- (\sin (x)) + \cos (h) \sin (x) + \cos (x) \sin (h)}{h}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos (h) \sin (x)$ heraus.

$\frac{- (\sin (x)) - (- \cos (h) \sin (x)) + \cos (x) \sin (h)}{h}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin (x)) - (- \cos (h) \sin (x))$ heraus.

$\frac{- (\sin (x) - \cos (h) \sin (x)) + \cos (x) \sin (h)}{h}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos (x) \sin (h)$ heraus.

$\frac{- (\sin (x) - \cos (h) \sin (x)) - (- \cos (x) \sin (h))}{h}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin (x) - \cos (h) \sin (x)) - (- \cos (x) \sin (h))$ heraus.

$\frac{- (\sin (x) - \cos (h) \sin (x) - \cos (x) \sin (h))}{h}$

Schritt 3.6

Schreibe $- (\sin (x) - \cos (h) \sin (x) - \cos (x) \sin (h))$ als $- 1 (\sin (x) - \cos (h) \sin (x) - \cos (x) \sin (h))$ um.

$\frac{- 1 (\sin (x) - \cos (h) \sin (x) - \cos (x) \sin (h))}{h}$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sin (x) - \cos (h) \sin (x) - \cos (x) \sin (h)}{h}$

Schritt 4

Nun betrachte die rechte Seite der Gleichung.

$\cos (x) (\frac{\sin (h)}{h}) - \sin (x) \frac{1 - \cos (h)}{h}$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

$\frac{\cos (x) \sin (h)}{h} - \frac{\sin (x)}{h} + \frac{\sin (x) \cos (h)}{h}$

Schritt 6

Schreibe $\frac{\cos (x) \sin (h)}{h} - \frac{\sin (x)}{h}$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{\frac{\cos (x) \sin (h)}{h} - \frac{\sin (x)}{h}}{1} + \frac{\sin (x) \cos (h)}{h}$

Schritt 7

Addiere Brüche.

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Schritt 7.1

Um $\frac{\frac{\cos (x) \sin (h)}{h} - \frac{\sin (x)}{h}}{1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{h}{h}$ .

$\frac{\frac{\cos (x) \sin (h)}{h} - \frac{\sin (x)}{h}}{1} \cdot \frac{h}{h} + \frac{\sin (x) \cos (h)}{h}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\frac{\frac{\cos (x) \sin (h)}{h} - \frac{\sin (x)}{h}}{1}$ mit $\frac{h}{h}$ .

$\frac{(\frac{\cos (x) \sin (h)}{h} - \frac{\sin (x)}{h}) h}{h} + \frac{\sin (x) \cos (h)}{h}$

Schritt 7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(\frac{\cos (x) \sin (h)}{h} - \frac{\sin (x)}{h}) h + \sin (x) \cos (h)}{h}$

Schritt 8

Vereinfache jeden Term.

$\frac{\cos (x) \sin (h) - \sin (x) + \sin (x) \cos (h)}{h}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (x)$ heraus.

$\frac{- (\sin (x)) + \cos (h) \sin (x) + \cos (x) \sin (h)}{h}$

Schritt 9.2

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos (h) \sin (x)$ heraus.

$\frac{- (\sin (x)) - (- \cos (h) \sin (x)) + \cos (x) \sin (h)}{h}$

Schritt 9.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin (x)) - (- \cos (h) \sin (x))$ heraus.

$\frac{- (\sin (x) - \cos (h) \sin (x)) + \cos (x) \sin (h)}{h}$

Schritt 9.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos (x) \sin (h)$ heraus.

$\frac{- (\sin (x) - \cos (h) \sin (x)) - (- \cos (x) \sin (h))}{h}$

Schritt 9.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin (x) - \cos (h) \sin (x)) - (- \cos (x) \sin (h))$ heraus.

$\frac{- (\sin (x) - \cos (h) \sin (x) - \cos (x) \sin (h))}{h}$

Schritt 9.6

Schreibe $- (\sin (x) - \cos (h) \sin (x) - \cos (x) \sin (h))$ als $- 1 (\sin (x) - \cos (h) \sin (x) - \cos (x) \sin (h))$ um.

$\frac{- 1 (\sin (x) - \cos (h) \sin (x) - \cos (x) \sin (h))}{h}$

Schritt 9.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sin (x) - \cos (h) \sin (x) - \cos (x) \sin (h)}{h}$

Schritt 10

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (x + h) - \sin (x)}{h} = \cos (x) (\frac{\sin (h)}{h}) - \sin (x) \frac{1 - \cos (h)}{h}$ ist eine Identitätsgleichung