Trigonometrie Beispiele

$\frac{2 \tan (\frac{5 π}{8})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{5 π}{8})$ ist $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\frac{5 π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\frac{2 \tan (\frac{\frac{5 π}{4}}{2})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.2

Wende die Tangens-Halbwinkelformel an.

$\frac{2 (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$\frac{2 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$\frac{2 (- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.1.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.6

$\frac{2 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{4})}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.7

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.8

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.10

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.4.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.11.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.12

Mutltipliziere $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.13

Mutltipliziere $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.14

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{2 (- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.15

Vereinfache.

$\frac{2 (- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.16

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.4.17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.17.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.18

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.19

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.19.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.19.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.19.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.19.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.19.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.19.4.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.19.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{2} + 2$ und $2$ .

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Schritt 1.1.4.19.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.19.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.19.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.19.5.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.4.19.5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.19.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.19.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.19.5.4.4

Dividiere $\sqrt{2} + 1$ durch $1$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.20

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 (- \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.1.4.21

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

$\frac{2 \cdot - 1 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- (2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1^{2} - \tan^{2} (\frac{5 π}{8})}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \tan (\frac{5 π}{8})$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 + \tan (\frac{5 π}{8})) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{5 π}{8})$ ist $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe $\frac{5 π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 + \tan (\frac{\frac{5 π}{4}}{2})) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.2

Wende die Tangens-Halbwinkelformel an.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 \pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4

Vereinfache $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}$ .

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Schritt 2.3.1.4.1

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 2.3.1.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.6

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{4})}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.7

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.8

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.10

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.4.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.11.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.12

Mutltipliziere $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.13

Mutltipliziere $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.14

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.15

Vereinfache.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.16

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.4.17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.17.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.18

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.19

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.4.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.19.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.19.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.19.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.4.19.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.19.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.19.4.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.19.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{2} + 2$ und $2$ .

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Schritt 2.3.1.4.19.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.19.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.19.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.19.5.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.4.19.5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.19.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.19.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.19.5.4.4

Dividiere $\sqrt{2} + 1$ durch $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.20

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.21

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - \tan (\frac{5 π}{8}))}$

Schritt 2.3.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{5 π}{8})$ ist $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Schreibe $\frac{5 π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - \tan (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}))}$

Schritt 2.3.2.2

Wende die Tangens-Halbwinkelformel an.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}))}$

Schritt 2.3.2.3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}})}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinfache $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}$ .

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Schritt 2.3.2.4.1

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}})}$

Schritt 2.3.2.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}})}$

Schritt 2.3.2.4.3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 2.3.2.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}})}$

Schritt 2.3.2.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}})}$

Schritt 2.3.2.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}})}$

Schritt 2.3.2.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}})}$

Schritt 2.3.2.4.6

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{4})}})}$

Schritt 2.3.2.4.7

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}})}$

Schritt 2.3.2.4.8

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}})}$

Schritt 2.3.2.4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})}$

Schritt 2.3.2.4.10

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})}$

Schritt 2.3.2.4.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.4.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})}$

Schritt 2.3.2.4.11.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}})}$

Schritt 2.3.2.4.12

Mutltipliziere $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})})}$

Schritt 2.3.2.4.13

Mutltipliziere $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}})}$

Schritt 2.3.2.4.14

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}})}$

Schritt 2.3.2.4.15

Vereinfache.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.16

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.4.17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.17.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.18

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.19

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.4.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.19.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.19.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.19.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.4.19.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.19.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.19.4.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.19.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{2} + 2$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.4.19.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.19.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.19.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.19.5.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.4.19.5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}})}$

Schritt 2.3.2.4.19.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}})}$

Schritt 2.3.2.4.19.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}})}$

Schritt 2.3.2.4.19.5.4.4

Dividiere $\sqrt{2} + 1$ durch $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1})}$

Schritt 2.3.2.4.20

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.21

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 - - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}$

Schritt 2.3.3

Multipliziere $- - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 + 1 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ mit $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}$

Schritt 3

Multipliziere $(1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) (1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 (1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}) - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \cdot 1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + 1 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \cdot 1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ mit $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \cdot 1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

Schritt 4.1.4

Multipliziere $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

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Schritt 4.1.4.1

Potenziere $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ mit $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - ({\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{1} \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}$

Schritt 4.1.4.2

Potenziere $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ mit $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - ({\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{1} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{1})}$

Schritt 4.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Schritt 4.1.5

Schreibe ${\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}$ als $3 + 2 \sqrt{2}$ um.

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Schritt 4.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ als ${(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - {({(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{1}}$

Schritt 4.1.5.5

Vereinfache.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - (3 + 2 \sqrt{2})}$

Schritt 4.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - 1 \cdot 3 - (2 \sqrt{2})}$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - 3 - (2 \sqrt{2})}$

Schritt 4.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - 3 - 2 \sqrt{2}}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{- 2 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2}}$

Schritt 4.3

Subtrahiere $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ von $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{- 2 + 0 - 2 \sqrt{2}}$

Schritt 4.4

Addiere $- 2$ und $0$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $- 2 - 2 \sqrt{2}$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}{2 (- 1) - 2 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}{2 (- 1) + 2 (- \sqrt{2})}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 1) + 2 (- \sqrt{2})$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}{2 (- 1 - \sqrt{2})}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}{2 (- 1 - \sqrt{2})}$

Schritt 5.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{- 1 - \sqrt{2}}$

Schritt 6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{- 1 - \sqrt{2}}$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{- 1 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{- 1 + \sqrt{2}}{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$- (\frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{- 1 - \sqrt{2}} \cdot \frac{- 1 + \sqrt{2}}{- 1 + \sqrt{2}})$

Schritt 8

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{- 1 - \sqrt{2}}$ mit $\frac{- 1 + \sqrt{2}}{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2})}{(- 1 - \sqrt{2}) (- 1 + \sqrt{2})}$

Schritt 8.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$- \frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2})}{1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

$- \frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2})}{- 1}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.4.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2})}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot (\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2})))$

Schritt 8.4.2

Schreibe $- 1 \cdot (\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2}))$ als $- (\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2}))$ um.

$- - (\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2}))$

Schritt 8.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- - (\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \cdot - 1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2})$

Schritt 8.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

$- - (- 1 \cdot \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2})$

Schritt 8.7

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- - (- 1 \cdot \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} + \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2})$

Schritt 9

Schreibe $- 1 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ als $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ um.

$- - (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} + \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2})$

Schritt 10

Wende das Distributivgesetz an.

$- (- - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2})$

Schritt 11

Multipliziere $- - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- (1 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2})$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ mit $1$ .

$- (\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2})$

Schritt 12

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - - \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

Schritt 13

Multipliziere $- - \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} + 1 \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $\sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$ mit $1$ .

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} + \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} + \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

Dezimalform:

$1$