Trigonometrie Beispiele

$\frac{2 \tan (\frac{π}{8})}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{8})$ ist $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

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Schritt 1.1

Schreibe $\frac{π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\frac{2 \tan (\frac{\frac{π}{4}}{2})}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.2

Wende die Tangens-Halbwinkelformel an.

$\frac{2 (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}})}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.3

Ändere $\pm$ zu $+$ weil der Tangens im 1. Quadranten positiv ist.

$\frac{2 \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$ .

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Schritt 1.4.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.9

Mutltipliziere $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.10

Mutltipliziere $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.11

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.12

Vereinfache.

$\frac{2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.13

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.14.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.15

Kombiniere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.16

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.16.2

Multipliziere $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Schritt 1.4.16.2.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.16.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.16.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.16.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.16.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.16.3.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.4.16.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.16.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.16.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.16.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.16.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.16.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.16.3.1.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.16.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.16.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{2} - 2$ und $2$ .

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Schritt 1.4.16.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.16.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.16.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.16.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.16.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.16.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.16.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.16.4.4.4

Dividiere $\sqrt{2} - 1$ durch $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.16.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.16.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.17

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 1.4.18

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $- \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1^{2} - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \tan (\frac{π}{8})$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \tan (\frac{π}{8})) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{8})$ ist $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe $\frac{π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \tan (\frac{\frac{π}{4}}{2})) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.2

Wende die Tangens-Halbwinkelformel an.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 \pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.3

Ändere $\pm$ zu $+$ weil der Tangens im 1. Quadranten positiv ist.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$ .

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Schritt 2.3.1.4.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.4.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.9

Mutltipliziere $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.10

Mutltipliziere $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.11

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.12

Vereinfache.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.13

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.4.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.14.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.15

Kombiniere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.16

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.4.16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.16.2

Multipliziere $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Schritt 2.3.1.4.16.2.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.16.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.16.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.16.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.16.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.4.16.3.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.3.1.4.16.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.16.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.16.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.16.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.4.16.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.16.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.16.3.1.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.16.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.16.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{2} - 2$ und $2$ .

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Schritt 2.3.1.4.16.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.16.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.16.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.16.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.4.16.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.16.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.16.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.16.4.4.4

Dividiere $\sqrt{2} - 1$ durch $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.16.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.16.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.17

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.1.4.18

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $- \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Schritt 2.3.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{8})$ ist $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Schreibe $\frac{π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \tan (\frac{\frac{π}{4}}{2}))}$

Schritt 2.3.2.2

Wende die Tangens-Halbwinkelformel an.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}))}$

Schritt 2.3.2.3

Ändere $\pm$ zu $+$ weil der Tangens im 1. Quadranten positiv ist.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}})}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$ .

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Schritt 2.3.2.4.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}})}$

Schritt 2.3.2.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}})}$

Schritt 2.3.2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}})}$

Schritt 2.3.2.4.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}})}$

Schritt 2.3.2.4.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}})}$

Schritt 2.3.2.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}})}$

Schritt 2.3.2.4.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}})}$

Schritt 2.3.2.4.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.4.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}})}$

Schritt 2.3.2.4.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}})}$

Schritt 2.3.2.4.9

Mutltipliziere $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})})}$

Schritt 2.3.2.4.10

Mutltipliziere $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}})}$

Schritt 2.3.2.4.11

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}})}$

Schritt 2.3.2.4.12

Vereinfache.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.13

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.4.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.14.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.15

Kombiniere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.16

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.4.16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.16.2

Multipliziere $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.4.16.2.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.16.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.16.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.16.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.16.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.4.16.3.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.3.2.4.16.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.16.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.16.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.16.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.4.16.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.16.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.16.3.1.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.16.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.16.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{2} - 2$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.4.16.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.16.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.16.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.16.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.4.16.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}})}$

Schritt 2.3.2.4.16.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}})}$

Schritt 2.3.2.4.16.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}})}$

Schritt 2.3.2.4.16.4.4.4

Dividiere $\sqrt{2} - 1$ durch $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)})}$

Schritt 2.3.2.4.16.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1})}$

Schritt 2.3.2.4.16.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1})}$

Schritt 2.3.2.4.17

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}})}$

Schritt 2.3.2.4.18

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $- \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}$

Schritt 3

Multipliziere $(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 (1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} \cdot 1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 + 1 (- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} \cdot 1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} \cdot 1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}$

Schritt 4.1.4

Multipliziere $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.1

Potenziere $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - ({\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}^{1} \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}$

Schritt 4.1.4.2

Potenziere $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - ({\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}^{1} {\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}^{1})}$

Schritt 4.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - {\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - {\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Schritt 4.1.5

Schreibe ${\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}^{2}$ als $3 - 2 \sqrt{2}$ um.

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Schritt 4.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ als ${(3 - 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - {({(3 - 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - {(3 - 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - {(3 - 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - {(3 - 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - {(3 - 2 \sqrt{2})}^{1}}$

Schritt 4.1.5.5

Vereinfache.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - (3 - 2 \sqrt{2})}$

Schritt 4.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - 1 \cdot 3 - (- 2 \sqrt{2})}$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - 3 - (- 2 \sqrt{2})}$

Schritt 4.1.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - 3 + 2 \sqrt{2}}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{- 2 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2}}$

Schritt 4.3

Addiere $- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ und $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{- 2 + 0 + 2 \sqrt{2}}$

Schritt 4.4

Addiere $- 2$ und $0$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{- 2 + 2 \sqrt{2}}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $- 2 + 2 \sqrt{2}$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}{- 2 + 2 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}{2 \cdot - 1 + 2 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}{2 \cdot - 1 + 2 (\sqrt{2})}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 1 + 2 (\sqrt{2})$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}{2 \cdot (- 1 + \sqrt{2})}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{2 \cdot (- 1 + \sqrt{2})}$

Schritt 5.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{- 1 + \sqrt{2}}$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{- 1 + \sqrt{2}}$ mit $\frac{- 1 - \sqrt{2}}{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{- 1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{- 1 - \sqrt{2}}{- 1 - \sqrt{2}}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{- 1 + \sqrt{2}}$ mit $\frac{- 1 - \sqrt{2}}{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- 1 - \sqrt{2})}{(- 1 + \sqrt{2}) (- 1 - \sqrt{2})}$

Schritt 7.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- 1 - \sqrt{2})}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot - 1 - {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$\frac{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- 1 - \sqrt{2})}{- 1}$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.4.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- 1 - \sqrt{2})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- 1 - \sqrt{2}))$

Schritt 7.4.2

Schreibe $- 1 \cdot (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- 1 - \sqrt{2}))$ als $- (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- 1 - \sqrt{2}))$ um.

$- (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- 1 - \sqrt{2}))$

Schritt 7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} \cdot - 1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- \sqrt{2}))$

Schritt 7.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

$- (- 1 \cdot \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- \sqrt{2}))$

Schritt 7.7

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- (- 1 \cdot \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2})$

Schritt 8

Schreibe $- 1 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ als $- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ um.

$- (- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2})$

Schritt 9

Wende das Distributivgesetz an.

$- - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - - \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

Schritt 10

Multipliziere $- - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - - \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - - \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

Schritt 11

Multipliziere $- - \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$ .

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + 1 \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $\sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$ mit $1$ .

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

Dezimalform:

$1.000000000000 \dots$