Trigonometrie Beispiele

$\frac{2 \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{3})}$

Schritt 1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{3})}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{2 \sqrt{3}}{1^{2} - \tan^{2} (\frac{π}{3})}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \tan (\frac{π}{3})$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{(1 + \tan (\frac{π}{3})) (1 - \tan (\frac{π}{3}))}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \tan (\frac{π}{3}))}$

Schritt 2.3.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Multipliziere $(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 (1 - \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}$

Schritt 3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Schritt 3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 + 1 (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Schritt 3.2.1.4

Multipliziere $\sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Schritt 3.2.1.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Schritt 3.2.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.2.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.2.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.2.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.2.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.2.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 3^{1}}$

Schritt 3.2.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 1 \cdot 3}$

Schritt 3.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 3}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{- 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3}}$

Schritt 3.2.3

Addiere $- \sqrt{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{- 2 + 0}$

Schritt 3.2.4

Addiere $- 2$ und $0$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $- 2$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 4.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot \sqrt{3}$

Schritt 4.2

Schreibe $- 1 \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$- \sqrt{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \sqrt{3}$

Dezimalform:

$- 1.73205080 \dots$