Trigonometrie Beispiele

$\sin (a) \sin (b) = (\frac{1}{2}) (\cos (a - b) - \cos (a + b))$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$(\frac{1}{2}) (\cos (a - b) - \cos (a + b))$

Schritt 2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$\frac{1}{2} (\cos (a) \cos (- b) - \sin (a) \sin (- b) - \cos (a + b))$

Schritt 3

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$\frac{1}{2} (\cos (a) \cos (- b) - \sin (a) \sin (- b) - (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)))$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Da $\cos (- b)$ eine gerade Funktion ist, schreibe $\cos (- b)$ als $\cos (b)$ .

$\frac{1}{2} (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (- b) - (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)))$

Schritt 4.1.2

Da $\sin (- b)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\sin (- b)$ als $- \sin (b)$ .

$\frac{1}{2} (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) (- \sin (b)) - (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)))$

Schritt 4.1.3

Multipliziere $- \sin (a) (- \sin (b))$ .

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\cos (a) \cos (b) + 1 \sin (a) \sin (b) - (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)))$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\sin (a)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b) - (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)))$

Schritt 4.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b) - (\cos (a) \cos (b)) - (- \sin (a) \sin (b)))$

Schritt 4.1.5

Multipliziere $- (- \sin (a) \sin (b))$ .

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Schritt 4.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b) + 1 (\sin (a) \sin (b)))$

Schritt 4.1.5.2

Mutltipliziere $\sin (a)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$

Schritt 4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b)$ .

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $\cos (a) \cos (b)$ von $\cos (a) \cos (b)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (a) \sin (b) + 0 + \sin (a) \sin (b))$

Schritt 4.2.2

Addiere $\sin (a) \sin (b)$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (a) \sin (b) + \sin (a) \sin (b))$

Schritt 4.3

Addiere $\sin (a) \sin (b)$ und $\sin (a) \sin (b)$ .

$\frac{1}{2} (2 \sin (a) \sin (b))$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sin (a) \sin (b)$ heraus.

$\frac{1}{2} (2 (\sin (a) \sin (b)))$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 (\sin (a) \sin (b)))$

Schritt 4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (a) \sin (b)$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sin (a) \sin (b) = (\frac{1}{2}) (\cos (a - b) - \cos (a + b))$ ist eine Identitätsgleichung