Trigonometrie Beispiele

$\sec (2 x) = \frac{\csc^{2} (x)}{2 \cot^{2} (x) - \csc^{2} (x)}$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\frac{\csc^{2} (x)}{2 \cot^{2} (x) - \csc^{2} (x)}$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{2 \cot^{2} (x) - \csc^{2} (x)}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{2 \cot^{2} (x) - \csc^{2} (x)}$

Schritt 2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{2 \cot^{2} (x) - \csc^{2} (x)}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{2 {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - \csc^{2} (x)}$

Schritt 2.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ an.

$\frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{2 \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \csc^{2} (x)}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \csc^{2} (x)}$

Schritt 2.2.4

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$\frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 2.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{\frac{2 \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 2.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{\frac{2 \cos^{2} (x) - 1}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 2.2.8

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{\frac{\cos (2 x)}{\sin^{2} (x)}}$

Schritt 2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (2 x)}$

Schritt 2.4

Kombinieren.

$\frac{1 \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos (2 x)}$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin^{2} (x)$ .

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Schritt 2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos (2 x)}$

Schritt 2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\cos (2 x)}$

Schritt 3

Schreibe $\frac{1}{\cos (2 x)}$ als $\sec (2 x)$ um.

$\sec (2 x)$

Schritt 4

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sec (2 x) = \frac{\csc^{2} (x)}{2 \cot^{2} (x) - \csc^{2} (x)}$ ist eine Identitätsgleichung