Trigonometrie Beispiele

$\sec (2 x) = \frac{\csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x) - 2}$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\frac{\csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x) - 2}$

Schritt 2

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 2.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{\csc^{2} (x) - 2}$

Schritt 2.2

Wende die Kehrwertfunktion auf $\csc (x)$ an.

$\frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 2}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$\frac{\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}}}{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 2}$

Schritt 2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 2}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$\frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 2}$

Schritt 2.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{\frac{1}{\sin^{2} (x)} - 2}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 2}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 2 \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}}$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{- 2 {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1 - 2 {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}}$

Schritt 3.3

Kombinieren.

$\frac{1 \cdot 1}{{\sin (x)}^{2} \frac{1 - 2 {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2} \frac{1 - 2 {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}}$

Schritt 3.5

Kombiniere ${\sin (x)}^{2}$ und $\frac{1 - 2 {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{{\sin (x)}^{2} (1 - 2 {\sin (x)}^{2})}{{\sin (x)}^{2}}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

$\frac{1}{1 - 2 \sin^{2} (x)}$

Schritt 4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\frac{1}{\cos (2 x)}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{1}{\cos (2 x)}$ als $\sec (2 x)$ um.

$\sec (2 x)$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sec (2 x) = \frac{\csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x) - 2}$ ist eine Identitätsgleichung