Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) \cos (y) = \frac{1}{2} \cdot (\sin (x + y) + \sin (x - y))$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\frac{1}{2} \cdot (\sin (x + y) + \sin (x - y))$

Schritt 2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\frac{1}{2} \cdot (\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x - y))$

Schritt 3

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\frac{1}{2} \cdot (\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y))$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Da $\cos (- y)$ eine gerade Funktion ist, schreibe $\cos (- y)$ als $\cos (y)$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (- y))$

Schritt 4.1.2

Da $\sin (- y)$ eine ungerade Funktion ist, schreibe $\sin (- y)$ als $- \sin (y)$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y) + \cos (x) (- \sin (y)))$

Schritt 4.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{2} \cdot (\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y))$

Schritt 4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) + \sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)$ .

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $\cos (x) \sin (y)$ von $\cos (x) \sin (y)$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\sin (x) \cos (y) + \sin (x) \cos (y) + 0)$

Schritt 4.2.2

Addiere $\sin (x) \cos (y) + \sin (x) \cos (y)$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\sin (x) \cos (y) + \sin (x) \cos (y))$

Schritt 4.3

Addiere $\sin (x) \cos (y)$ und $\sin (x) \cos (y)$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 \sin (x) \cos (y))$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sin (x) \cos (y)$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot (2 (\sin (x) \cos (y)))$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot (2 (\sin (x) \cos (y)))$

Schritt 4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) \cos (y)$

Schritt 5

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sin (x) \cos (y) = \frac{1}{2} \cdot (\sin (x + y) + \sin (x - y))$ ist eine Identitätsgleichung