Trigonometrie Beispiele

$\tan (x) (\tan (x) + \cot (x)) = \sec^{2} (x)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\tan (x) (\tan (x) + \cot (x))$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x)$

Schritt 3

Multipliziere $\tan (x) \tan (x)$ .

$\tan^{2} (x) + \tan (x) \cot (x)$

Schritt 4

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\sec^{2} (x) - 1 + \tan (x) \cot (x)$

Schritt 5

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 5.1

Wende die Kehrwertfunktion auf $\sec (x)$ an.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1 + \tan (x) \cot (x)$

Schritt 5.2

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cot (x)$

Schritt 5.3

Schreibe $\cot (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 5.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 6.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 6.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1 + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x)$

Schritt 6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 6.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1 + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x)$

Schritt 6.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1 + 1$

Schritt 6.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + 0$

Schritt 6.3

Addiere $\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ und $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 7

Schreibe $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ als $\sec^{2} (x)$ um.

$\sec^{2} (x)$

Schritt 8

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\tan (x) (\tan (x) + \cot (x)) = \sec^{2} (x)$ ist eine Identitätsgleichung