Trigonometrie Beispiele

$\tan (x) - \tan (y) = \frac{\sin (x - y)}{\cos (x) \cos (y)}$

Schritt 1

Beginne auf der rechten Seite.

$\frac{\sin (x - y)}{\cos (x) \cos (y)}$

Schritt 2

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$\frac{\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos (x) \sin (y)$ heraus.

$\frac{- (\cos (x) \sin (y)) + \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (y)}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos (y) \sin (x)$ heraus.

$\frac{- (\cos (x) \sin (y)) - (- \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \cos (y)}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\cos (x) \sin (y)) - (- \cos (y) \sin (x))$ heraus.

$\frac{- (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \cos (y)}$

Schritt 3.4

Schreibe $- (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))$ als $- 1 (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))$ um.

$\frac{- 1 (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \cos (y)}$

Schritt 3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (y)}$

Schritt 4

Betrachte nun die linke Seite der Gleichung.

$\tan (x) - \tan (y)$

Schritt 5

Wandle in Sinus und Kosinus um.

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Schritt 5.1

Schreibe $\tan (x)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \tan (y)$

Schritt 5.2

Schreibe $\tan (y)$ mit Sinus und Kosinus mithilfe der Quotienten-Identitätsgleichung.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

Schritt 6

Subtrahiere Brüche.

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Schritt 6.1

Um $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (y)}{\cos (y)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

Schritt 6.2

Um $- \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\cos (x) \cos (y)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{\cos (y)}{\cos (y)}$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} - \frac{\sin (y) \cos (x)}{\cos (y) \cos (x)}$

Schritt 6.3.3

Stelle die Faktoren von $\cos (y) \cos (x)$ um.

$\frac{\sin (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} - \frac{\sin (y) \cos (x)}{\cos (x) \cos (y)}$

Schritt 6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (x) \cos (y) - \sin (y) \cos (x)}{\cos (x) \cos (y)}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos (x) \sin (y)$ heraus.

$\frac{- (\cos (x) \sin (y)) + \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (y)}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos (y) \sin (x)$ heraus.

$\frac{- (\cos (x) \sin (y)) - (- \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \cos (y)}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\cos (x) \sin (y)) - (- \cos (y) \sin (x))$ heraus.

$\frac{- (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \cos (y)}$

Schritt 7.4

Schreibe $- (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))$ als $- 1 (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))$ um.

$\frac{- 1 (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \cos (y)}$

Schritt 7.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \cos (y)}$

Schritt 8

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\tan (x) - \tan (y) = \frac{\sin (x - y)}{\cos (x) \cos (y)}$ ist eine Identitätsgleichung