Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sin (315)}{1 + \cos (315)}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$\frac{- \sin (45)}{1 + \cos (315)}$

Schritt 1.2

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (315)}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}$

Schritt 2.2

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Schritt 2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{2} \frac{1}{2 + \sqrt{2}}$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ und $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}$

Schritt 8

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$- \frac{\sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 9

Vereinfache.

$- \frac{\sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}{2}$

Schritt 10

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{2}$

Schritt 11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{2}$

Schritt 12

Multipliziere $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 12.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}$

Schritt 12.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}$

Schritt 12.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

Schritt 12.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{2 \cdot \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Schritt 13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 13.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Schritt 13.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Schritt 13.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Schritt 13.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Schritt 13.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}$

Schritt 13.1.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}$

Schritt 14

Vereinfache Terme.

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Schritt 14.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{2} - 2$ und $2$ .

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Schritt 14.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$- \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}$

Schritt 14.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$- \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}$

Schritt 14.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ heraus.

$- \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}$

Schritt 14.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}$

Schritt 14.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 14.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{2} - 1}{1}$

Schritt 14.1.4.4

Dividiere $\sqrt{2} - 1$ durch $1$ .

$- (\sqrt{2} - 1)$

Schritt 14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sqrt{2} - - 1$

Schritt 14.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \sqrt{2} + 1$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \sqrt{2} + 1$

Dezimalform:

$- 0.41421356 \dots$