Trigonometrie Beispiele

$\arctan (\tan (\frac{7 π}{12}))$

Schritt 1

Schreibe $\frac{7 π}{12}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\arctan (\tan (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}))$

Schritt 2

Wende die Tangens-Halbwinkelformel an.

$\arctan (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Schritt 3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Schritt 4

Vereinfache $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}$ .

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Schritt 4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Schritt 4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Schritt 4.3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $1$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Schritt 4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

Schritt 4.6

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{6})}})$

Schritt 4.7

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}})$

Schritt 4.8

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}})$

Schritt 4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}})$

Schritt 4.10

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\arctan (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}})$

Schritt 4.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\arctan (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}})$

Schritt 4.11.2

Forme den Ausdruck um.

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{1}{2 - \sqrt{3}}})$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}})})$

Schritt 4.13

Mutltipliziere $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}})$

Schritt 4.14

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}})$

Schritt 4.15

Vereinfache.

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{1}})$

Schritt 4.16

Dividiere $2 + \sqrt{3}$ durch $1$ .

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})})$

Schritt 4.17

Multipliziere $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\arctan (- \sqrt{2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})})$

Schritt 4.17.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\arctan (- \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})})$

Schritt 4.17.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\arctan (- \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}})$

Schritt 4.18

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.18.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.18.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}})$

Schritt 4.18.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}})$

Schritt 4.18.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}})$

Schritt 4.18.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}})$

Schritt 4.18.1.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}})$

Schritt 4.18.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3})$

Schritt 4.18.2

Addiere $4$ und $3$ .

$\arctan (- \sqrt{7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}})$

Schritt 4.18.3

Addiere $2 \sqrt{3}$ und $2 \sqrt{3}$ .

$\arctan (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\arctan (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})$

Dezimalform:

$- 1.30899693 \dots$