Trigonometrie Beispiele

$2 \cos^{2} (157.5) - 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\cos (157.5)$ ist $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 1.1.1

Schreibe $157.5$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$2 \cos^{2} (\frac{315}{2}) - 1$

Schritt 1.1.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$2 {(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (315)}{2}})}^{2} - 1$

Schritt 1.1.3

Wechsele das $\pm$ zu $-$ , da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$2 {(- \sqrt{\frac{1 + \cos (315)}{2}})}^{2} - 1$

Schritt 1.1.4

Vereinfache $- \sqrt{\frac{1 + \cos (315)}{2}}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$2 {(- \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})}^{2} - 1$

Schritt 1.1.4.2

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 {(- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - 1$

Schritt 1.1.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 {(- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - 1$

Schritt 1.1.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - 1$

Schritt 1.1.4.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 {(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})}^{2} - 1$

Schritt 1.1.4.6

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.1.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 {(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})}^{2} - 1$

Schritt 1.1.4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 {(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}})}^{2} - 1$

Schritt 1.1.4.7

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$2 {(- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} - 1$

Schritt 1.1.4.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.4.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 {(- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} - 1$

Schritt 1.1.4.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$2 {(- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2} - 1$

Schritt 1.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ an.

$2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2}) - 1$

Schritt 1.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ an.

$2 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}) - 1$

Schritt 1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (1 \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}) - 1$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$2 \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - 1$

Schritt 1.5

Schreibe ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ als $2 + \sqrt{2}$ um.

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Schritt 1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ als ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 1$

Schritt 1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 1$

Schritt 1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 1$

Schritt 1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 1$

Schritt 1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} - 1$

Schritt 1.5.5

Vereinfache.

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}} - 1$

Schritt 1.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{4} - 1$

Schritt 1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2 (2)} - 1$

Schritt 1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - 1$

Schritt 1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} - 1$

Schritt 2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.1

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 + \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{2} - 2}{2}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0 + \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.3

Addiere $0$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Dezimalform:

$0.70710678 \dots$