Trigonometrie Beispiele

$2 \cos^{2} (15) - 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\cos (15)$ ist $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.1.1

Teile $15$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$2 \cos^{2} (45 - 30) - 1$

Schritt 1.1.2

Separiere die Negation.

$2 \cos^{2} (45 - (30)) - 1$

Schritt 1.1.3

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ an.

$2 {(\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30))}^{2} - 1$

Schritt 1.1.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30))}^{2} - 1$

Schritt 1.1.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30))}^{2} - 1$

Schritt 1.1.6

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))}^{2} - 1$

Schritt 1.1.7

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Schritt 1.1.8

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.8.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 1.1.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Schritt 1.1.8.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$2 {(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Schritt 1.1.8.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Schritt 1.1.8.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} - 1$

Schritt 1.1.8.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.1.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{2} - 1$

Schritt 1.1.8.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 {(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})}^{2} - 1$

Schritt 1.1.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 {(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})}^{2} - 1$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ an.

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{4^{2}} - 1$

Schritt 1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{16} - 1$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{2 (8)} - 1$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{2 \cdot 8} - 1$

Schritt 1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}}{8} - 1$

Schritt 1.5

Schreibe ${(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}$ als $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ um.

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} - 1$

Schritt 1.6

Multipliziere $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} - 1$

Schritt 1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8} - 1$

Schritt 1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Schritt 1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Schritt 1.7.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Schritt 1.7.1.3

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Schritt 1.7.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{6 + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Schritt 1.7.1.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{6 + \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Schritt 1.7.1.6

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{6 + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Schritt 1.7.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.7.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{6 + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Schritt 1.7.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Schritt 1.7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Schritt 1.7.1.9

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Schritt 1.7.1.10

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Schritt 1.7.1.11

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.7.1.11.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Schritt 1.7.1.11.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Schritt 1.7.1.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} - 1$

Schritt 1.7.1.13

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{8} - 1$

Schritt 1.7.1.14

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{8} - 1$

Schritt 1.7.1.15

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{8} - 1$

Schritt 1.7.1.16

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 2}{8} - 1$

Schritt 1.7.2

Addiere $6$ und $2$ .

$\frac{8 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{8} - 1$

Schritt 1.7.3

Addiere $2 \sqrt{3}$ und $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8} - 1$

Schritt 1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 + 4 \sqrt{3}$ und $8$ .

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Schritt 1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{8} - 1$

Schritt 1.8.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{8} - 1$

Schritt 1.8.3

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ heraus.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{8} - 1$

Schritt 1.8.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.8.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (2)} - 1$

Schritt 1.8.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 2} - 1$

Schritt 1.8.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} - 1$

Schritt 2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.1

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 + \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{3} - 2}{2}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0 + \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.3

Addiere $0$ und $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Dezimalform:

$0.86602540 \dots$