Trigonometrie Beispiele

$2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) - 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$2 {(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}})}^{2} - 1$

Schritt 1.2

Remove the plus-minus sign on $\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ because it is raised to an even power.

$2 {\sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}}^{2} - 1$

Schritt 1.3

Schreibe $\sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ um.

$2 {(\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}})}^{2} - 1$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} - 1$

Schritt 1.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} - 1$

Schritt 1.5.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 {(\frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} - 1$

Schritt 1.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 {(\frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} - 1$

Schritt 1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 {(\frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} - 1$

Schritt 1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$2 {(\frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} - 1$

Schritt 1.5.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 {(\frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} - 1$

Schritt 1.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} - 1$

Schritt 1.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 {(\frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} - 1$

Schritt 1.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 {(\frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} - 1$

Schritt 1.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 {(\frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} - 1$

Schritt 1.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$2 {(\frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2})}^{2} - 1$

Schritt 1.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$2 {(\frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{2} - 1$

Schritt 1.7

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ an.

$2 \frac{{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}^{2}}{2^{2}} - 1$

Schritt 1.8

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1

Schreibe ${\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}^{2}$ als $(1 + \cos (x)) \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}$ als ${((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \frac{{({((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 1$

Schritt 1.8.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 1$

Schritt 1.8.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 \frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 1$

Schritt 1.8.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 1$

Schritt 1.8.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{1}}{2^{2}} - 1$

Schritt 1.8.1.5

Vereinfache.

$2 \frac{(1 + \cos (x)) \cdot 2}{2^{2}} - 1$

Schritt 1.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \frac{1 \cdot 2 + \cos (x) \cdot 2}{2^{2}} - 1$

Schritt 1.8.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \frac{2 + \cos (x) \cdot 2}{2^{2}} - 1$

Schritt 1.8.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$2 \frac{2 + 2 \cdot \cos (x)}{2^{2}} - 1$

Schritt 1.8.5

Faktorisiere $2$ aus $2 + 2 \cos (x)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 \frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (x)}{2^{2}} - 1$

Schritt 1.8.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1 + 2 \cos (x)$ heraus.

$2 \frac{2 (1 + \cos (x))}{2^{2}} - 1$

Schritt 1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$2 \frac{2 (1 + \cos (x))}{4} - 1$

Schritt 1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.10.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 \frac{2 (1 + \cos (x))}{2 (2)} - 1$

Schritt 1.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{2 (1 + \cos (x))}{2 \cdot 2} - 1$

Schritt 1.10.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{2} - 1$

Schritt 1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{2} - 1$

Schritt 1.11.2

Dividiere $1 + \cos (x)$ durch $1$ .

$1 + \cos (x) - 1$

Schritt 2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + \cos (x) - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0 + \cos (x)$

Schritt 2.2

Addiere $0$ und $\cos (x)$ .

$\cos (x)$