Trigonometrie Beispiele

cos (2 π t - \frac{π}{4})

$\cos (2 π t - \frac{π}{4})$

Schritt 1

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie

cos (x - y) = cos (x) cos (y) + sin (x) sin (y)

$\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ an.

cos (2 π t) cos (\frac{π}{4}) + sin (2 π t) sin (\frac{π}{4})

$\cos (2 π t) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (2 π t) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Füge Klammern hinzu.

cos (2 (π t)) cos (\frac{π}{4}) + sin (2 π t) sin (\frac{π}{4})

$\cos (2 (π t)) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (2 π t) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 2.2

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um

cos (2 x)

$\cos (2 x)$ nach

{cos}^{2} (x) - {sin}^{2} (x)

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

({cos}^{2} (π t) - {sin}^{2} (π t)) cos (\frac{π}{4}) + sin (2 π t) sin (\frac{π}{4})

$(\cos^{2} (π t) - \sin^{2} (π t)) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (2 π t) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 2.3

Der genau Wert von

cos (\frac{π}{4})

$\cos (\frac{π}{4})$ ist

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

({cos}^{2} (π t) - {sin}^{2} (π t)) \frac{\sqrt{2}}{2} + sin (2 π t) sin (\frac{π}{4})

$(\cos^{2} (π t) - \sin^{2} (π t)) \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 π t) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 2.4

Wende das Distributivgesetz an.

{cos}^{2} (π t) \frac{\sqrt{2}}{2} - {sin}^{2} (π t) \frac{\sqrt{2}}{2} + sin (2 π t) sin (\frac{π}{4})

$\cos^{2} (π t) \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin^{2} (π t) \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 π t) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 2.5

Kombiniere

{cos}^{2} (π t)

$\cos^{2} (π t)$ und

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

\frac{{cos}^{2} (π t) \sqrt{2}}{2} - {sin}^{2} (π t) \frac{\sqrt{2}}{2} + sin (2 π t) sin (\frac{π}{4})

$\frac{\cos^{2} (π t) \sqrt{2}}{2} - \sin^{2} (π t) \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 π t) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 2.6

Kombiniere

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ und

{sin}^{2} (π t)

$\sin^{2} (π t)$ .

\frac{{cos}^{2} (π t) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} {sin}^{2} (π t)}{2} + sin (2 π t) sin (\frac{π}{4})

$\frac{\cos^{2} (π t) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin^{2} (π t)}{2} + \sin (2 π t) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 2.7

Füge Klammern hinzu.

\frac{{cos}^{2} (π t) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} {sin}^{2} (π t)}{2} + sin (2 (π t)) sin (\frac{π}{4})

$\frac{\cos^{2} (π t) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin^{2} (π t)}{2} + \sin (2 (π t)) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 2.8

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

\frac{{cos}^{2} (π t) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} {sin}^{2} (π t)}{2} + 2 sin (π t) cos (π t) sin (\frac{π}{4})

$\frac{\cos^{2} (π t) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin^{2} (π t)}{2} + 2 \sin (π t) \cos (π t) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 2.9

Der genau Wert von

sin (\frac{π}{4})

$\sin (\frac{π}{4})$ ist

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

\frac{{cos}^{2} (π t) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} {sin}^{2} (π t)}{2} + 2 sin (π t) cos (π t) \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\cos^{2} (π t) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin^{2} (π t)}{2} + 2 \sin (π t) \cos (π t) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 2.10.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

2 sin (π t) cos (π t)

$2 \sin (π t) \cos (π t)$ heraus.

\frac{{cos}^{2} (π t) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} {sin}^{2} (π t)}{2} + 2 (sin (π t) cos (π t)) \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\cos^{2} (π t) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin^{2} (π t)}{2} + 2 (\sin (π t) \cos (π t)) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos^{2} (π t) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin^{2} (π t)}{2} + 2 (\sin (π t) \cos (π t)) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.10.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos^{2} (π t) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin^{2} (π t)}{2} + \sin (π t) \cos (π t) \sqrt{2}$