Trigonometrie Beispiele

$\cos (2 π t - \frac{π}{4})$

Schritt 1

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ an.

$\cos (2 π t) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (2 π t) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Füge Klammern hinzu.

$\cos (2 (π t)) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (2 π t) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 2.2

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$(\cos^{2} (π t) - \sin^{2} (π t)) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (2 π t) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 2.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\cos^{2} (π t) - \sin^{2} (π t)) \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 π t) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos^{2} (π t) \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin^{2} (π t) \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 π t) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 2.5

Kombiniere $\cos^{2} (π t)$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos^{2} (π t) \sqrt{2}}{2} - \sin^{2} (π t) \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 π t) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 2.6

Kombiniere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ und $\sin^{2} (π t)$ .

$\frac{\cos^{2} (π t) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin^{2} (π t)}{2} + \sin (2 π t) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 2.7

Füge Klammern hinzu.

$\frac{\cos^{2} (π t) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin^{2} (π t)}{2} + \sin (2 (π t)) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 2.8

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\frac{\cos^{2} (π t) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin^{2} (π t)}{2} + 2 \sin (π t) \cos (π t) \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 2.9

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos^{2} (π t) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin^{2} (π t)}{2} + 2 \sin (π t) \cos (π t) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.10.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sin (π t) \cos (π t)$ heraus.

$\frac{\cos^{2} (π t) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin^{2} (π t)}{2} + 2 (\sin (π t) \cos (π t)) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos^{2} (π t) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin^{2} (π t)}{2} + 2 (\sin (π t) \cos (π t)) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.10.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos^{2} (π t) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin^{2} (π t)}{2} + \sin (π t) \cos (π t) \sqrt{2}$