Trigonometrie Beispiele

$\cos (2 \arcsin (x))$

Schritt 1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$\cos^{2} (\arcsin (x)) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arcsin (x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ verläuft. Folglich ist $\cos (\arcsin (x))$ $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Schritt 2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

${\sqrt{1^{2} - x^{2}}}^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Schritt 2.4

Schreibe ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ als $(1 + x) (1 - x)$ um.

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Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ als ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Schritt 2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Schritt 2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Schritt 2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Schritt 2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

${((1 + x) (1 - x))}^{1} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Schritt 2.4.5

Vereinfache.

$(1 + x) (1 - x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Schritt 2.5

Multipliziere $(1 + x) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (1 - x) + x (1 - x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Schritt 2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Schritt 2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Schritt 2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Schritt 2.6.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$1 - x + x \cdot 1 + x (- x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Schritt 2.6.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$1 - x + x + x (- x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Schritt 2.6.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 - x + x - x \cdot x - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Schritt 2.6.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.1.5.1

Bewege $x$ .

$1 - x + x - (x \cdot x) - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Schritt 2.6.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$1 - x + x - x^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Schritt 2.6.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$1 + 0 - x^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Schritt 2.6.3

Addiere $1$ und $0$ .

$1 - x^{2} - \sin^{2} (\arcsin (x))$

Schritt 2.7

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$1 - x^{2} - x^{2}$

Schritt 3

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$1 - 2 x^{2}$