Trigonometrie Beispiele

$\cos^{2} (112.5) - \sin^{2} (112.5)$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Der genau Wert von $\cos (112.5)$ ist $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Schreibe $112.5$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\cos^{2} (\frac{225}{2}) - \sin^{2} (112.5)$

Schritt 1.1.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

${(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Schritt 1.1.3

Wechsele das $\pm$ zu $-$ , da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

${(- \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Schritt 1.1.4

Vereinfache $- \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

${(- \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Schritt 1.1.4.2

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Schritt 1.1.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${(- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Schritt 1.1.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Schritt 1.1.4.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Schritt 1.1.4.6

Multipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Schritt 1.1.4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Schritt 1.1.4.7

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Schritt 1.1.4.8

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Schritt 1.1.4.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Schritt 1.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ an.

${(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

Schritt 1.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ an.

${(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Schritt 1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Schritt 1.5

Schreibe ${\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}$ als $2 - \sqrt{2}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ als ${(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{({(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Schritt 1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Schritt 1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Schritt 1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Schritt 1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Schritt 1.5.5

Vereinfache.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

Schritt 1.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (112.5)$

Schritt 1.7

Der genau Wert von $\sin (112.5)$ ist $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1

Schreibe $112.5$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (\frac{225}{2})$

Schritt 1.7.2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{2}})}^{2}$

Schritt 1.7.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Sinus im zweiten Quadranten positiv ist.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{2}}}^{2}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.4.1

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{2}}}^{2}$

Schritt 1.7.4.2

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Schritt 1.7.4.3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Schritt 1.7.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Schritt 1.7.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Schritt 1.7.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

Schritt 1.7.4.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2}$

Schritt 1.7.4.7

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2}$

Schritt 1.7.4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}^{2}$

Schritt 1.7.4.8

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2}$

Schritt 1.7.4.9

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.4.9.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2}$

Schritt 1.7.4.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2}$

Schritt 1.8

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ an.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 1.9

Schreibe ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ als $2 + \sqrt{2}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ als ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 1.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Schritt 1.9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 1.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 1.9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}}$

Schritt 1.9.5

Vereinfache.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}}$

Schritt 1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Schritt 2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 - \sqrt{2} - (2 + \sqrt{2})}{4}$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 - \sqrt{2} - 1 \cdot 2 - \sqrt{2}}{4}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2} - 2 - \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $0$ .

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4.3

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{4}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{4}$

Schritt 4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (2)}$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Dezimalform:

$- 0.70710678 \dots$