Trigonometrie Beispiele

$\frac{\cos (45)}{\sec (30) + \csc (60)}$

Schritt 1

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sec (30) + \csc (60)}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\sec (30)$ ist $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} + \csc (60)}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \csc (60)}$

Schritt 2.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + \csc (60)}$

Schritt 2.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + \csc (60)}$

Schritt 2.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + \csc (60)}$

Schritt 2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + \csc (60)}$

Schritt 2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + \csc (60)}$

Schritt 2.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \csc (60)}$

Schritt 2.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \csc (60)}$

Schritt 2.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + \csc (60)}$

Schritt 2.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + \csc (60)}$

Schritt 2.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + \csc (60)}$

Schritt 2.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \csc (60)}$

Schritt 2.4

Der genau Wert von $\csc (60)$ ist $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}$

Schritt 2.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}$

Schritt 2.6.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}$

Schritt 2.6.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}$

Schritt 2.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}$

Schritt 2.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}$

Schritt 2.6.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Schritt 2.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Schritt 2.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}$

Schritt 2.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}$

Schritt 2.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}}$

Schritt 2.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}}$

Schritt 2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{3}}$

Schritt 2.8

Addiere $2 \sqrt{3}$ und $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{4 \sqrt{3}}{3}}$

Schritt 3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{4 \sqrt{3}}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{3}{4 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{3}{4 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{3}{4 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{4 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 5.2

Bewege $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 5.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{4 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Schritt 5.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{4 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Schritt 5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 5.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{4 \cdot 3^{1}}$

Schritt 5.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{4 \cdot 3}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{4 \cdot 3}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$

Schritt 7

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{\sqrt{6}}{8}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{6}}{8}$

Dezimalform:

$0.30618621 \dots$