Trigonometrie Beispiele

$\frac{1 - \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $2 \cos^{2} (x) - 1$ zu transformieren.

$\frac{1 - (2 \cos^{2} (x) - 1)}{1 + \cos (2 x)}$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 - (2 \cos^{2} (x)) - - 1}{1 + \cos (2 x)}$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1 - 2 \cos^{2} (x) - - 1}{1 + \cos (2 x)}$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 - 2 \cos^{2} (x) + 1}{1 + \cos (2 x)}$

Schritt 1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 - 2 \cos^{2} (x)}{1 + \cos (2 x)}$

Schritt 1.6

Schreibe $2 - 2 \cos^{2} (x)$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 - 2 \cos^{2} (x)$ heraus.

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Schritt 1.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1) - 2 \cos^{2} (x)}{1 + \cos (2 x)}$

Schritt 1.6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x))}{1 + \cos (2 x)}$

Schritt 1.6.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$\frac{2 (1 - \cos^{2} (x))}{1 + \cos (2 x)}$

Schritt 1.6.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{2 (1^{2} - \cos^{2} (x))}{1 + \cos (2 x)}$

Schritt 1.6.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{1 + \cos (2 x)}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $2 \cos^{2} (x) - 1$ zu transformieren.

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{1 + 2 \cos^{2} (x) - 1}$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{0 + 2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $2 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{2 \cos^{2} (x)}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos^{2} (x)}$