Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (\frac{x}{2})$

Schritt 1

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

${(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}})}^{2}$

Schritt 2

Remove the plus-minus sign on $\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}$ because it is raised to an even power.

${\sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}}^{2}$

Schritt 3

Schreibe $\sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ um.

${(\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}})}^{2}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}$

Schritt 5.1.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

${(\frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}$

Schritt 5.1.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

${(\frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}$

Schritt 5.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(\frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}$

Schritt 5.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

${(\frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}$

Schritt 5.1.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(\frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

Schritt 5.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

Schritt 5.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${(\frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Schritt 5.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Schritt 5.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}$

Schritt 5.1.6.5

Berechne den Exponenten.

${(\frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Schritt 5.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

${(\frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{2}$

Schritt 5.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ an.

$\frac{{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Schreibe ${\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}^{2}$ als $(1 - \cos (x)) \cdot 2$ um.

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Schritt 6.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}$ als ${((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{({((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 6.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Schritt 6.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 6.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 6.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{1}}{2^{2}}$

Schritt 6.1.5

Vereinfache.

$\frac{(1 - \cos (x)) \cdot 2}{2^{2}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 2 - \cos (x) \cdot 2}{2^{2}}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 - \cos (x) \cdot 2}{2^{2}}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (x)}{2^{2}}$

Schritt 6.5

Faktorisiere $2$ aus $2 - 2 \cos (x)$ heraus.

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1) - 2 \cos (x)}{2^{2}}$

Schritt 6.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cos (x)$ heraus.

$\frac{2 (1) + 2 (- \cos (x))}{2^{2}}$

Schritt 6.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- \cos (x))$ heraus.

$\frac{2 (1 - \cos (x))}{2^{2}}$

Schritt 7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 (1 - \cos (x))}{4}$

Schritt 8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (1 - \cos (x))}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (1 - \cos (x))}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - \cos (x)}{2}$