Trigonometrie Beispiele

$\tan (x + y) - \tan (x)$

Schritt 1

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} - \tan (x)$

Schritt 2

Um $- \tan (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - \tan (x) \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)}$ .

$\frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} - \tan (x) \cdot \frac{1 - \tan (x) \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Kombiniere $- \tan (x)$ und $\frac{1 - \tan (x) \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)}$ .

$\frac{\tan (x) + \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)} + \frac{- \tan (x) (1 - \tan (x) \tan (y))}{1 - \tan (x) \tan (y)}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\tan (x) + \tan (y) - \tan (x) (1 - \tan (x) \tan (y))}{1 - \tan (x) \tan (y)}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\tan (x) + \tan (y) - \tan (x) \cdot 1 - \tan (x) (- \tan (x) \tan (y))}{1 - \tan (x) \tan (y)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\tan (x) + \tan (y) - \tan (x) - \tan (x) (- \tan (x) \tan (y))}{1 - \tan (x) \tan (y)}$

Schritt 4.3

Multipliziere $- \tan (x) (- \tan (x) \tan (y))$ .

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\tan (x) + \tan (y) - \tan (x) + 1 \tan (x) (\tan (x) \tan (y))}{1 - \tan (x) \tan (y)}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{\tan (x) + \tan (y) - \tan (x) + \tan (x) (\tan (x) \tan (y))}{1 - \tan (x) \tan (y)}$

Schritt 4.3.3

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{\tan (x) + \tan (y) - \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)}$

Schritt 4.3.4

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{\tan (x) + \tan (y) - \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)}$

Schritt 4.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\tan (x) + \tan (y) - \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)}$

Schritt 4.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\tan (x) + \tan (y) - \tan (x) + \tan^{2} (x) \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)}$

Schritt 4.4

Subtrahiere $\tan (x)$ von $\tan (x)$ .

$\frac{0 + \tan (y) + \tan^{2} (x) \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)}$

Schritt 4.5

Addiere $0$ und $\tan (y)$ .

$\frac{\tan (y) + \tan^{2} (x) \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $\tan (y)$ aus $\tan (y) + \tan^{2} (x) \tan (y)$ heraus.

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Schritt 4.6.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\tan (y) \cdot 1 + \tan^{2} (x) \tan (y)}{1 - \tan (x) \tan (y)}$

Schritt 4.6.2

Faktorisiere $\tan (y)$ aus $\tan^{2} (x) \tan (y)$ heraus.

$\frac{\tan (y) \cdot 1 + \tan (y) \tan^{2} (x)}{1 - \tan (x) \tan (y)}$

Schritt 4.6.3

Faktorisiere $\tan (y)$ aus $\tan (y) \cdot 1 + \tan (y) \tan^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\tan (y) (1 + \tan^{2} (x))}{1 - \tan (x) \tan (y)}$

Schritt 4.7

Ordne Terme um.

$\frac{\tan (y) (\tan^{2} (x) + 1)}{1 - \tan (x) \tan (y)}$

Schritt 4.8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\tan (y) \sec^{2} (x)}{1 - \tan (x) \tan (y)}$