Trigonometrie Beispiele

$\tan (x + 30)$

Schritt 1

Doppelte Negation

$\tan (x - (- 30))$

Schritt 2

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$\frac{\tan (x) - \tan (- 30)}{1 + \tan (x) \tan (- 30)}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im vierten Quadranten negativ ist.

$\frac{\tan (x) - - \tan (30)}{1 + \tan (x) \tan (- 30)}$

Schritt 3.2

Der genau Wert von $\tan (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\tan (x) - - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (x) \tan (- 30)}$

Schritt 3.3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\tan (x) + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (x) \tan (- 30)}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ mit $1$ .

$\frac{\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (x) \tan (- 30)}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

$\frac{\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (x) (- \tan (30))}$

Schritt 4.2

Der genau Wert von $\tan (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (x) (- \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 4.3

Kombiniere $\tan (x)$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\tan (x) \sqrt{3}}{3}}$

Schritt 5

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $3$ .

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\tan (x) \sqrt{3}}{3}}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\tan (x) \sqrt{3}}{3}}$

Schritt 5.2

Kombinieren.

$\frac{3 (\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 - \frac{\tan (x) \sqrt{3}}{3})}$

Schritt 6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \tan (x) + 3 \frac{\sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\tan (x) \sqrt{3}}{3})}$

Schritt 7

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \tan (x) + 3 \frac{\sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\tan (x) \sqrt{3}}{3})}$

Schritt 7.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \tan (x) + \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\tan (x) \sqrt{3}}{3})}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\tan (x) \sqrt{3}}{3}$ in den Zähler.

$\frac{3 \tan (x) + \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \tan (x) \sqrt{3}}{3}}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \tan (x) + \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \tan (x) \sqrt{3}}{3}}$

Schritt 7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \tan (x) + \sqrt{3}}{3 \cdot 1 - \tan (x) \sqrt{3}}$

Schritt 8

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 \tan (x) + \sqrt{3}}{3 - \tan (x) \sqrt{3}}$

Schritt 9

Mutltipliziere $\frac{3 \tan (x) + \sqrt{3}}{3 - \tan (x) \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 + \tan (x) \sqrt{3}}{3 + \tan (x) \sqrt{3}}$ .

$\frac{3 \tan (x) + \sqrt{3}}{3 - \tan (x) \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \tan (x) \sqrt{3}}{3 + \tan (x) \sqrt{3}}$

Schritt 10

Vereinfache Terme.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{3 \tan (x) + \sqrt{3}}{3 - \tan (x) \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 + \tan (x) \sqrt{3}}{3 + \tan (x) \sqrt{3}}$ .

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{(3 - \tan (x) \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}$

Schritt 10.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{9 + 3 (\tan (x) \sqrt{3}) - 3 \tan (x) \sqrt{3} - \tan^{2} (x) {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 10.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{9 - \tan^{2} (x) {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 10.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{9 - \tan^{2} (x) \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 10.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{9 - \tan^{2} (x) \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{9 - \tan^{2} (x) \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{9 - \tan^{2} (x) \cdot 3^{1}}$

Schritt 10.3.1.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{9 - \tan^{2} (x) \cdot 3}$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{9 - 3 \tan^{2} (x)}$

Schritt 10.4

Faktorisiere $3$ aus $9 - 3 \tan^{2} (x)$ heraus.

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Schritt 10.4.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{3 (3) - 3 \tan^{2} (x)}$

Schritt 10.4.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 \tan^{2} (x)$ heraus.

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{3 (3) + 3 (- \tan^{2} (x))}$

Schritt 10.4.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (3) + 3 (- \tan^{2} (x))$ heraus.

$\frac{(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 11

Multipliziere $(3 \tan (x) + \sqrt{3}) (3 + \tan (x) \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \tan (x) (3 + \tan (x) \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \tan (x) \cdot 3 + 3 \tan (x) (\tan (x) \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \tan (x) \cdot 3 + 3 \tan (x) (\tan (x) \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (\tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan (x) (\tan (x) \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (\tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 12.1.2

Multipliziere $3 \tan (x) (\tan (x) \sqrt{3})$ .

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Schritt 12.1.2.1

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{9 \tan (x) + 3 (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (\tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 12.1.2.2

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{9 \tan (x) + 3 (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (\tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 12.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9 \tan (x) + 3 {\tan (x)}^{1 + 1} \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (\tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 12.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} (\tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 12.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} (\tan (x) \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 12.1.4

Multipliziere $\sqrt{3} (\tan (x) \sqrt{3})$ .

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Schritt 12.1.4.1

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 12.1.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 12.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 12.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 12.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 12.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 12.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 12.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 12.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 12.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3^{1} \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 12.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{9 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3 \tan (x)}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 12.2

Addiere $9 \tan (x)$ und $3 \tan (x)$ .

$\frac{12 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12 \tan (x) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}$ und $3$ .

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Schritt 13.1

Faktorisiere $3$ aus $12 \tan (x)$ heraus.

$\frac{3 (4 \tan (x)) + 3 \tan^{2} (x) \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 13.2

Faktorisiere $3$ aus $3 \tan^{2} (x) \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{3 (4 \tan (x)) + 3 (\tan^{2} (x) \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3}}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 13.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (4 \tan (x)) + 3 (\tan^{2} (x) \sqrt{3})$ heraus.

$\frac{3 (4 \tan (x) + \tan^{2} (x) \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3}}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 13.4

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{3 (4 \tan (x) + \tan^{2} (x) \sqrt{3}) + 3 (\sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 13.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (4 \tan (x) + \tan^{2} (x) \sqrt{3}) + 3 (\sqrt{3})$ heraus.

$\frac{3 (4 \tan (x) + \tan^{2} (x) \sqrt{3} + \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 13.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4 \tan (x) + \tan^{2} (x) \sqrt{3} + \sqrt{3})}{3 (3 - \tan^{2} (x))}$

Schritt 13.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \tan (x) + \tan^{2} (x) \sqrt{3} + \sqrt{3}}{3 - \tan^{2} (x)}$