Trigonometrie Beispiele

$\cos (x + y) \cos (x - y)$

Schritt 1

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$(\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)) \cos (x - y)$

Schritt 2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ an.

$(\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

Schritt 3

Multipliziere $(\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) - \sin (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) - \sin (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) - \sin (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) - \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) - \sin (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) - \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$ .

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Schritt 4.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\cos (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y))$ und $- \sin (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y))$ neu an.

$\cos (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \cos (y) \sin (x) \sin (y) - \cos (x) \cos (y) \sin (x) \sin (y) - \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $\cos (x) \cos (y) \sin (x) \sin (y)$ von $\cos (x) \cos (y) \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + 0 - \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.1.3

Addiere $\cos (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y))$ und $0$ .

$\cos (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) - \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere $\cos (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y))$ .

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) \cos (y) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.2.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \cos (y) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\cos (x)}^{1 + 1} \cos (y) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (x) \cos (y) \cos (y) - \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.2.1.5

Potenziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) (\cos^{1} (y) \cos (y)) - \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.2.1.6

Potenziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) (\cos^{1} (y) \cos^{1} (y)) - \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.2.1.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (x) {\cos (y)}^{1 + 1} - \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.2.1.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (x) \cos^{2} (y) - \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Schritt 4.2.2

Multipliziere $- \sin (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$ .

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) \cos^{2} (y) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) \sin (y) \sin (y)$

Schritt 4.2.2.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) \cos^{2} (y) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \sin (y) \sin (y)$

Schritt 4.2.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (x) \cos^{2} (y) - {\sin (x)}^{1 + 1} \sin (y) \sin (y)$

Schritt 4.2.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (x) \cos^{2} (y) - \sin^{2} (x) \sin (y) \sin (y)$

Schritt 4.2.2.5

Potenziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) \cos^{2} (y) - \sin^{2} (x) (\sin^{1} (y) \sin (y))$

Schritt 4.2.2.6

Potenziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) \cos^{2} (y) - \sin^{2} (x) (\sin^{1} (y) \sin^{1} (y))$

Schritt 4.2.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (x) \cos^{2} (y) - \sin^{2} (x) {\sin (y)}^{1 + 1}$

Schritt 4.2.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (x) \cos^{2} (y) - \sin^{2} (x) \sin^{2} (y)$