Trigonometrie Beispiele

$\sin (\arcsin (2 x) + \arccos (2 x))$

Schritt 1

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\sin (\arcsin (2 x)) \cos (\arccos (2 x)) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$2 x \cos (\arccos (2 x)) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Schritt 2.1.2

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$2 x (2 x) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Schritt 2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 2 x \cdot x + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Schritt 2.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.1

Bewege $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Schritt 2.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{2} + \cos (\arcsin (2 x)) \sin (\arccos (2 x))$

Schritt 2.1.6

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 2 x)$ , $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arcsin (2 x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}, 2 x)$ verläuft. Folglich ist $\cos (\arcsin (2 x))$ $\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$ .

$4 x^{2} + \sqrt{1 - {(2 x)}^{2}} \sin (\arccos (2 x))$

Schritt 2.1.7

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$4 x^{2} + \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}} \sin (\arccos (2 x))$

Schritt 2.1.8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = 2 x$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))} \sin (\arccos (2 x))$

Schritt 2.1.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sin (\arccos (2 x))$

Schritt 2.1.10

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ , $(2 x, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arccos (2 x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(2 x, \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\sin (\arccos (2 x))$ $\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}$

Schritt 2.1.11

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}$

Schritt 2.1.12

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = 2 x$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))}$

Schritt 2.1.13

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 x^{2} + \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

Schritt 2.1.14

Multipliziere $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.14.1

Potenziere $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ mit $1$ .

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

Schritt 2.1.14.2

Potenziere $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ mit $1$ .

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1}$

Schritt 2.1.14.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1 + 1}$

Schritt 2.1.14.4

Addiere $1$ und $1$ .

$4 x^{2} + {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$

Schritt 2.1.15

Schreibe ${\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$ als $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.15.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ als ${((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 x^{2} + {({((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.1.15.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.1.15.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.15.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.15.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.15.4.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{2} + {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{1}$

Schritt 2.1.15.5

Vereinfache.

$4 x^{2} + (1 + 2 x) (1 - 2 x)$

Schritt 2.1.16

Multipliziere $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} + 1 (1 - 2 x) + 2 x (1 - 2 x)$

Schritt 2.1.16.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 2 x (1 - 2 x)$

Schritt 2.1.16.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x)$

Schritt 2.1.17

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.17.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.17.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$4 x^{2} + 1 + 1 (- 2 x) + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x)$

Schritt 2.1.17.1.2

Mutltipliziere $- 2 x$ mit $1$ .

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x \cdot 1 + 2 x (- 2 x)$

Schritt 2.1.17.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 x (- 2 x)$

Schritt 2.1.17.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 x \cdot x$

Schritt 2.1.17.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.17.1.5.1

Bewege $x$ .

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 (x \cdot x)$

Schritt 2.1.17.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 x^{2}$

Schritt 2.1.17.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$4 x^{2} + 1 - 2 x + 2 x - 4 x^{2}$

Schritt 2.1.17.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$4 x^{2} + 1 + 0 - 4 x^{2}$

Schritt 2.1.17.3

Addiere $1$ und $0$ .

$4 x^{2} + 1 - 4 x^{2}$

Schritt 2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{2} + 1 - 4 x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$0 + 1$

Schritt 2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$1$