Trigonometrie Beispiele

$\sin (\arcsin (x) - \arccos (x))$

Schritt 1

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$\sin (\arcsin (x)) \cos (\arccos (x)) - \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$x \cos (\arccos (x)) - \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Schritt 2.1.2

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$x \cdot x - \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (x))$

Schritt 2.1.4

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arcsin (x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ verläuft. Folglich ist $\cos (\arcsin (x))$ $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x^{2} - \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arccos (x))$

Schritt 2.1.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x^{2} - \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arccos (x))$

Schritt 2.1.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arccos (x))$

Schritt 2.1.7

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ , $(x, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arccos (x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\sin (\arccos (x))$ $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - x^{2}}$

Schritt 2.1.8

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Schritt 2.1.9

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2.1.10

Multipliziere $- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.10.1

Potenziere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ mit $1$ .

$x^{2} - ({\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)})$

Schritt 2.1.10.2

Potenziere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ mit $1$ .

$x^{2} - ({\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1})$

Schritt 2.1.10.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} - {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}$

Schritt 2.1.10.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} - {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Schritt 2.1.11

Schreibe ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ als $(1 + x) (1 - x)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.11.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ als ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x^{2} - {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.1.11.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.1.11.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.11.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.11.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

Schritt 2.1.11.5

Vereinfache.

$x^{2} - ((1 + x) (1 - x))$

Schritt 2.1.12

Multipliziere $(1 + x) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - (1 (1 - x) + x (1 - x))$

Schritt 2.1.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))$

Schritt 2.1.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

Schritt 2.1.13

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.13.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.13.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x^{2} - (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

Schritt 2.1.13.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$x^{2} - (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))$

Schritt 2.1.13.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} - (1 - x + x + x (- x))$

Schritt 2.1.13.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} - (1 - x + x - x \cdot x)$

Schritt 2.1.13.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.13.1.5.1

Bewege $x$ .

$x^{2} - (1 - x + x - (x \cdot x))$

Schritt 2.1.13.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - (1 - x + x - x^{2})$

Schritt 2.1.13.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$x^{2} - (1 + 0 - x^{2})$

Schritt 2.1.13.3

Addiere $1$ und $0$ .

$x^{2} - (1 - x^{2})$

Schritt 2.1.14

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 1 \cdot 1 - - x^{2}$

Schritt 2.1.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x^{2} - 1 - - x^{2}$

Schritt 2.1.16

Multipliziere $- - x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.16.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{2} - 1 + 1 x^{2}$

Schritt 2.1.16.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} - 1 + x^{2}$

Schritt 2.2

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 1$