Trigonometrie Beispiele

$\sin (67.5 °) \cos (22.5 °)$

Schritt 1

Der genau Wert von $\sin (67.5 °)$ ist $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 1.1

Schreibe $67.5 °$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\sin (\frac{135}{2}) \cos (22.5 °)$

Schritt 1.2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{2}}) \cos (22.5 °)$

Schritt 1.3

Wechsele das $\pm$ zu $+$ , da der Sinus im ersten Quadranten positiv ist.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{2}} \cos (22.5 °)$

Schritt 1.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{2}}$ .

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Schritt 1.4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{2}} \cos (22.5 °)$

Schritt 1.4.2

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5 °)$

Schritt 1.4.3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5 °)$

Schritt 1.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5 °)$

Schritt 1.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5 °)$

Schritt 1.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (22.5 °)$

Schritt 1.4.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (22.5 °)$

Schritt 1.4.7

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \cos (22.5 °)$

Schritt 1.4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} \cos (22.5 °)$

Schritt 1.4.8

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \cos (22.5 °)$

Schritt 1.4.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.9.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (22.5 °)$

Schritt 1.4.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cos (22.5 °)$

Schritt 2

Der genau Wert von $\cos (22.5 °)$ ist $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $22.5 °$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{45}{2})$

Schritt 2.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}})$

Schritt 2.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Kosinus im ersten Quadranten positiv ist.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \cos (45)}{2}}$

Schritt 2.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 2.5

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Schritt 2.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 2.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 2.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 2.5.4

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Schritt 2.5.5

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.5.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 2.5.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Schritt 3

Multipliziere $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2

Potenziere $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{1} \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3

Potenziere $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{1} {\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{4}$

Schritt 4

Schreibe ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ als $2 + \sqrt{2}$ um.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ als ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Schritt 4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{4}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Dezimalform:

$0.85355339 \dots$