Trigonometrie Beispiele

$\tan (- 345)$

Schritt 1

Schreibe $- 345$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\tan (\frac{- 690}{2})$

Schritt 2

Wende die Tangens-Halbwinkelformel an.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (- 690)}{1 + \cos (- 690)}}$

Schritt 3

Ändere $\pm$ zu $+$ weil der Tangens im 1. Quadranten positiv ist.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (- 690)}{1 + \cos (- 690)}}$

Schritt 4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (- 690)}{1 + \cos (- 690)}}$ .

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Schritt 4.1

Addiere volle Umdrehungen von $360$ °, bis der Winkel zwischen $0$ ° und $360$ ° ist.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (30)}{1 + \cos (- 690)}}$

Schritt 4.2

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (- 690)}}$

Schritt 4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (- 690)}}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (- 690)}}$

Schritt 4.5

Addiere volle Umdrehungen von $360$ °, bis der Winkel zwischen $0$ ° und $360$ ° ist.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (30)}}$

Schritt 4.6

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

Schritt 4.7

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

Schritt 4.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}}$

Schritt 4.9

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{3}}}$

Schritt 4.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{3}}}$

Schritt 4.10.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{(2 - \sqrt{3}) \frac{1}{2 + \sqrt{3}}}$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ .

$\sqrt{(2 - \sqrt{3}) (\frac{1}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}})}$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ .

$\sqrt{(2 - \sqrt{3}) \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}}$

Schritt 4.13

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\sqrt{(2 - \sqrt{3}) \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Schritt 4.14

Vereinfache.

$\sqrt{(2 - \sqrt{3}) \frac{2 - \sqrt{3}}{1}}$

Schritt 4.15

Dividiere $2 - \sqrt{3}$ durch $1$ .

$\sqrt{(2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}$

Schritt 4.16

Multipliziere $(2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{2 (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}$

Schritt 4.16.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}$

Schritt 4.16.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Schritt 4.17

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.17.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.17.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{4 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Schritt 4.17.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Schritt 4.17.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Schritt 4.17.1.4

Multipliziere $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 4.17.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.17.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.17.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 4.17.1.4.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 4.17.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.17.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.17.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.17.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.17.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.17.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.17.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.17.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.17.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{1}}$

Schritt 4.17.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}$

Schritt 4.17.2

Addiere $4$ und $3$ .

$\sqrt{7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}$

Schritt 4.17.3

Subtrahiere $2 \sqrt{3}$ von $- 2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}}$

Dezimalform:

$0.26794919 \dots$