Trigonometrie Beispiele

$\sin (\arccos (\frac{1}{2}) + \arctan (1))$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$\sin (\frac{π}{3} + \arctan (1))$

Schritt 1.2

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$\sin (\frac{π}{3} + \frac{π}{4})$

Schritt 2

Um $\frac{π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4})$

Schritt 3

Um $\frac{π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\sin (\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\sin (\frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\sin (\frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\sin (\frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12})$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sin (\frac{π \cdot 4 + π \cdot 3}{12})$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\sin (\frac{4 \cdot π + π \cdot 3}{12})$

Schritt 6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\sin (\frac{4 π + 3 \cdot π}{12})$

Schritt 6.3

Addiere $4 π$ und $3 π$ .

$\sin (\frac{7 π}{12})$

Schritt 7

Der genau Wert von $\sin (\frac{7 π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

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Schritt 7.1

Schreibe $\frac{7 π}{12}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

Schritt 7.2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

Schritt 7.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Sinus im zweiten Quadranten positiv ist.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

Schritt 7.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

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Schritt 7.4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

Schritt 7.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Schritt 7.4.3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 7.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Schritt 7.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Schritt 7.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Schritt 7.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}}$

Schritt 7.4.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 7.4.7

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 7.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 7.4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$

Schritt 7.4.8

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 7.4.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.4.9.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 7.4.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

Dezimalform:

$0.96592582 \dots$