Trigonometrie Beispiele

$\sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1

Der genau Wert von $\sin (\frac{7 π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

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Schritt 1.1

Schreibe $\frac{7 π}{12}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Sinus im zweiten Quadranten positiv ist.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

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Schritt 1.4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.4.3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 1.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.4.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.4.7

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.4.7.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.4.8

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.4.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.9.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.4.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 2

Der genau Wert von $\sin (\frac{5 π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Schritt 2.1

Teile $\frac{5 π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

Schritt 2.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 2.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{1}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 2.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 2.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 2.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 2.7

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.1.1

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 2.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 2.7.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 2.7.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 2.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 2.7.1.2.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 2.7.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})$

Schritt 2.7.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

Schritt 2.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Schritt 3

Multipliziere $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{8}$

Schritt 4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \sqrt{2} + \sqrt{2 + \sqrt{3}} \sqrt{6}}{8}$

Schritt 5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2} + \sqrt{2 + \sqrt{3}} \sqrt{6}}{8}$

Schritt 6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2} + \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 6}}{8}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2} + \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 6}}{8}$

Dezimalform:

$0.93301270 \dots$