Trigonometrie Beispiele

$\sin (\frac{5 π}{4} - \frac{4 π}{3})$

Schritt 1

Um $\frac{5 π}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\sin (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 π}{3})$

Schritt 2

Um $- \frac{4 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\sin (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\sin (\frac{5 π \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\sin (\frac{5 π \cdot 3}{12} - \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{4 π}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\sin (\frac{5 π \cdot 3}{12} - \frac{4 π \cdot 4}{3 \cdot 4})$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\sin (\frac{5 π \cdot 3}{12} - \frac{4 π \cdot 4}{12})$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sin (\frac{5 π \cdot 3 - 4 π \cdot 4}{12})$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\sin (\frac{15 π - 4 π \cdot 4}{12})$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$\sin (\frac{15 π - 16 π}{12})$

Schritt 5.3

Subtrahiere $16 π$ von $15 π$ .

$\sin (\frac{- π}{12})$

Schritt 6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (- \frac{π}{12})$

Schritt 7

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\sin (\frac{23 π}{12})$

Schritt 8

Der genau Wert von $\sin (\frac{23 π}{12})$ ist $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 8.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- \sin (\frac{π}{12})$

Schritt 8.2

Teile $\frac{π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$- \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Schritt 8.3

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$- (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 8.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 8.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 8.6

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 8.7

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 8.8

Vereinfache $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ .

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Schritt 8.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.8.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 8.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 8.8.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 8.8.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 8.8.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 8.8.1.2

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 8.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 8.8.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Schritt 8.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Dezimalform:

$- 0.25881904 \dots$