Trigonometrie Beispiele

$\sin (15) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Schritt 1

Der genau Wert von $\sin (15)$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.1

Teile $15$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\sin (45 - 30) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Schritt 1.2

Separiere die Negation.

$\sin (45 - (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Schritt 1.3

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$(\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Schritt 1.4

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Schritt 1.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Schritt 1.6

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Schritt 1.7

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Schritt 1.8

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 1.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Schritt 1.8.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Schritt 1.8.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Schritt 1.8.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Schritt 1.8.1.2

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Schritt 1.8.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Schritt 1.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (45) \cos (15) \sin (45)$

Schritt 2

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (15) \sin (45)$

Schritt 3

Multipliziere $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{4 \cdot 2} \cos (15) \sin (45)$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Schritt 4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Schritt 5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Schritt 6

Multipliziere $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Schritt 6.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8} \cos (15) \sin (45)$

Schritt 6.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8} \cos (15) \sin (45)$

Schritt 6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Schritt 6.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Schritt 7.2

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (3)} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Schritt 7.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Schritt 7.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Schritt 7.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 7.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Schritt 7.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Schritt 7.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Schritt 7.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Schritt 7.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{1}}{8} \cos (15) \sin (45)$

Schritt 7.4.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8} \cos (15) \sin (45)$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2}{8} \cos (15) \sin (45)$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{3} - 2$ und $8$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{3}) - 2}{8} \cos (15) \sin (45)$

Schritt 8.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)}{8} \cos (15) \sin (45)$

Schritt 8.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{8} \cos (15) \sin (45)$

Schritt 8.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 (4)} \cos (15) \sin (45)$

Schritt 8.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 \cdot 4} \cos (15) \sin (45)$

Schritt 8.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cos (15) \sin (45)$

Schritt 9

Der genau Wert von $\cos (15)$ ist $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 9.1

Teile $15$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cos (45 - 30) \sin (45)$

Schritt 9.2

Separiere die Negation.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cos (45 - (30)) \sin (45)$

Schritt 9.3

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ an.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) \sin (45)$

Schritt 9.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) \sin (45)$

Schritt 9.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) \sin (45)$

Schritt 9.6

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) \sin (45)$

Schritt 9.7

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

Schritt 9.8

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 9.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.8.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 9.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

Schritt 9.8.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

Schritt 9.8.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

Schritt 9.8.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (45)$

Schritt 9.8.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 9.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (45)$

Schritt 9.8.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (45)$

Schritt 9.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \sin (45)$

Schritt 10

Multipliziere $\frac{\sqrt{3} - 1}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} - 1}{4}$ mit $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4 \cdot 4} \sin (45)$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} \sin (45)$

Schritt 11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1

Multipliziere $(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 11.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - 1 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} \sin (45)$

Schritt 11.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} \sin (45)$

Schritt 11.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Schritt 11.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt{18} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Schritt 11.2.1.3

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 11.2.1.3.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$\frac{\sqrt{9 (2)} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Schritt 11.2.1.3.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Schritt 11.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{3} \sqrt{2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Schritt 11.2.1.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{3 \cdot 2} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Schritt 11.2.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - 1 \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Schritt 11.2.1.7

Schreibe $- 1 \sqrt{6}$ als $- \sqrt{6}$ um.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - 1 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Schritt 11.2.1.8

Schreibe $- 1 \sqrt{2}$ als $- \sqrt{2}$ um.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Schritt 11.2.2

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6}}{16} \sin (45)$

Schritt 11.2.3

Subtrahiere $\sqrt{6}$ von $\sqrt{6}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 0}{16} \sin (45)$

Schritt 11.2.4

Addiere $2 \sqrt{2}$ und $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{16} \sin (45)$

Schritt 12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $16$ .

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Schritt 12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{2})}{16} \sin (45)$

Schritt 12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 8} \sin (45)$

Schritt 12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 8} \sin (45)$

Schritt 12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2}}{8} \sin (45)$

Schritt 13

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 14

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{8}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{8 \cdot 2}$

Schritt 14.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{8 \cdot 2}$

Schritt 14.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{8 \cdot 2}$

Schritt 14.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8 \cdot 2}$

Schritt 14.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{8 \cdot 2}$

Schritt 14.6

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{16}$

Schritt 15

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 15.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

Schritt 15.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

Schritt 15.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Schritt 15.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Schritt 15.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2^{1}}{16}$

Schritt 15.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2}{16}$

Schritt 16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $16$ .

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Schritt 16.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{16}$

Schritt 16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 16.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Schritt 16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8}$

Schritt 16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{8}$

Schritt 17

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{8}$

Dezimalform:

$0.125$