Trigonometrie Beispiele

$\sin (105) \sin (75)$

Schritt 1

Der genau Wert von $\sin (105)$ ist $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Schritt 1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\sin (75) \sin (75)$

Schritt 1.2

Teile $75$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\sin (30 + 45) \sin (75)$

Schritt 1.3

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$(\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \sin (75)$

Schritt 1.4

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \sin (75)$

Schritt 1.5

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)) \sin (75)$

Schritt 1.6

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)) \sin (75)$

Schritt 1.7

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Schritt 1.8

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.1.1

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Schritt 1.8.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (75)$

Schritt 1.8.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (75)$

Schritt 1.8.1.2.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) \sin (75)$

Schritt 1.8.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) \sin (75)$

Schritt 1.8.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \sin (75)$

Schritt 1.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (75)$

Schritt 2

Der genau Wert von $\sin (75)$ ist $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Schritt 2.1

Teile $75$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (30 + 45)$

Schritt 2.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45))$

Schritt 2.3

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45))$

Schritt 2.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45))$

Schritt 2.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45))$

Schritt 2.6

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 2.7

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.1.1

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 2.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 2.7.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 2.7.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 2.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 2.7.1.2.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 2.7.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})$

Schritt 2.7.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

Schritt 2.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Schritt 3

Multipliziere $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ mit $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.2

Potenziere $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ mit $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{1} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.3

Potenziere $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ mit $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{1} {(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{1}}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{1 + 1}}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}}{16}$

Schritt 4

Schreibe ${(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2}$ als $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ um.

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Schritt 5

Multipliziere $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} + \sqrt{6}) + \sqrt{6} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{16}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Schritt 6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Schritt 6.1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Schritt 6.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Schritt 6.1.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Schritt 6.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{2 + \sqrt{12} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Schritt 6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Schritt 6.1.9

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Schritt 6.1.10

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Schritt 6.1.11

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.1.11.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Schritt 6.1.11.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Schritt 6.1.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{16}$

Schritt 6.1.13

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6 \cdot 6}}{16}$

Schritt 6.1.14

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{36}}{16}$

Schritt 6.1.15

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{6^{2}}}{16}$

Schritt 6.1.16

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 6}{16}$

Schritt 6.2

Addiere $2$ und $6$ .

$\frac{8 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{16}$

Schritt 6.3

Addiere $2 \sqrt{3}$ und $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 + 4 \sqrt{3}$ und $16$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{16}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ heraus.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{16}$

Schritt 7.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (4)}$

Schritt 7.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Schritt 7.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Dezimalform:

$0.93301270 \dots$