Trigonometrie Beispiele

$\sin (105) \sin (15)$

Schritt 1

Der genau Wert von $\sin (105)$ ist $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Schritt 1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\sin (75) \sin (15)$

Schritt 1.2

Teile $75$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\sin (30 + 45) \sin (15)$

Schritt 1.3

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$(\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \sin (15)$

Schritt 1.4

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)) \sin (15)$

Schritt 1.5

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)) \sin (15)$

Schritt 1.6

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)) \sin (15)$

Schritt 1.7

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (15)$

Schritt 1.8

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.1.1

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (15)$

Schritt 1.8.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (15)$

Schritt 1.8.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (15)$

Schritt 1.8.1.2.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) \sin (15)$

Schritt 1.8.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) \sin (15)$

Schritt 1.8.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \sin (15)$

Schritt 1.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (15)$

Schritt 2

Der genau Wert von $\sin (15)$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 2.1

Teile $15$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (45 - 30)$

Schritt 2.2

Separiere die Negation.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (45 - (30))$

Schritt 2.3

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Schritt 2.4

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Schritt 2.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))$

Schritt 2.6

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))$

Schritt 2.7

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 2.8

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 2.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 2.8.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 2.8.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 2.8.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 2.8.1.2

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 2.8.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Schritt 2.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Schritt 3

Multipliziere $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ mit $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Multipliziere $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + \sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt{12} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.3

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.5

Multipliziere $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 4.2.1.5.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.5.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{1 + 1} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.2.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{1} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2 + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.8

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.9

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.10

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + \sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2})}{16}$

Schritt 4.2.1.12

Multipliziere $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 4.2.1.12.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{6 \cdot 2}}{16}$

Schritt 4.2.1.12.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{12}}{16}$

Schritt 4.2.1.13

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.2.1.13.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{4 (3)}}{16}$

Schritt 4.2.1.13.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{16}$

Schritt 4.2.1.14

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - (2 \sqrt{3})}{16}$

Schritt 4.2.1.15

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 + 6 - 2 \sqrt{3}}{16}$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $2 \sqrt{3}$ von $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{0 - 2 + 6}{16}$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$\frac{- 2 + 6}{16}$

Schritt 4.2.4

Addiere $- 2$ und $6$ .

$\frac{4}{16}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $16$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 (1)}{16}$

Schritt 5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{4}$

Dezimalform:

$0.25$